Ta có:  111...1222..22 = 111...1 x 10¹⁰ + 222..2 = 111...1 x (9 x 111.11 + 1) + 2 x 111..1

Đặt 111..1 là a =>   111...1222..22 =  a.(9a + 1) +2a = 9a² + 3a   là số chính phương

Đặt 11......1 (n chữ số 1 ) =a ( a thuộc N )

=> 2222.....2(n chữ số 2) =2a

100....0(n chữ số 0) = 9a+1

=> 1111....1(2n chữ số 1) = a.(9a+1)+a

Khi đó : A = a.(9a+1)+a-2a = 9a^2+a+a-2a=9a^2 = (3a)^2 là số chính phương)

=> ĐPCM

Mình không hiểu luôn ak !!!!@@@

\(ab+1=\underbrace{11....11}_{2018c/s1}.\underbrace{11....13}_{2017c/s1}+1\)

\(\Leftrightarrow ab+1=(\underbrace{11....10}_{2017c/s1}+1).(\underbrace{11....10}_{2017c/s1}+3)+1\)

\(\Leftrightarrow ab+1=\underbrace{11....10^2}_{2017c/s1}+4.\underbrace{11....10}_{2017c/s1}+3+1\)

\(\Leftrightarrow ab+1=\underbrace{11....10^2}_{2017c/s1}+4.\underbrace{11....10}_{2017c/s1}+4\)

\(\Leftrightarrow ab+1=(\underbrace{11....10}_{2017c/s1}+2)^2\) là số chính phương

Vậy...

C áp dụng hằng đẳng thức : \(x^2+2xy+y^2=\left(x+y\right)^2\)

\(A=111.....111.10^{2017}+2222.....2222.10+5\)

\(=\frac{10^{2015}-1}{9}.10^{2017}+20.\frac{10^{2016}-1}{9}+5\)

\(=\frac{10^{4032}-10^{2017}+2.10^{2017}-20+45}{9}\)

\(=\frac{10^{4032}+2.5.10^{2016}+25}{9}\)

\(=\left(\frac{10^{2016}+5}{3}\right)^2\) là số chính phương (ĐPCM)

đề bài bảo có 2005 số 2 nên phải là 10^2006 chứ bạn, mấy cái còn lại cũng thế!