Bài này cực kì chặt nên có lẽ phải sử dụng tới BĐT Schur

Đặt \(x+y+z=p\) ; \(xy+yz+zx=q\)

BĐT cần chứng minh tương đương: \(p^3+4q+6\ge2p^2+3pq\) với \(p;q\ge3\)

TH1: \(p\ge q\)

\(p^3+4q+6-2p^2-3pq\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(p^2-3q\right)\left(p-2\right)-2\left(q-3\right)\ge0\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}p\ge q\\p>2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(p^2-3q\right)\left(p-2\right)\ge\left(p^2-3p\right)\left(p-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(p^2-3q\right)\left(p-2\right)-2\left(q-3\right)\ge\left(p^2-3p\right)\left(p-2\right)-2\left(p-3\right)\)

\(=\left(p-3\right)\left(p^2-2p-2\right)=\left(p-3\right)\left[p\left(p-3\right)+p-2\right]\ge0\)

 TH2: \(p\le q\)

Áp dụng BĐT Schur bậc 4:

\(p^4+4q^2+6p\ge5p^2q\Rightarrow p^3+6\ge5pq-\dfrac{4q^2}{P}\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(5pq-\dfrac{4q^2}{p}+4q\ge2p^2+3pq\)

\(\Leftrightarrow p^2q-2q^2+2pq-p^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(q-p\right)\left(p^2-2q\right)\ge0\) (đúng)

Nhân bung ra, rút gọn rồi đưa về bất đẳng thức: \(\sum\dfrac{xy}{z}\ge\sum2x\), đến đây dùng BDT Cauchy là xong rồi em.

Lời giải:
a. Xét hiệu:

$x^3+y^3-xy(x+y)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)=x^2(x-y)-y^2(x-y)$

$=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$

$\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$

b.

Áp dụng BĐT phần a vô:

$x^3+y^3\geq xy(x+y)$

$\Rightarrow x^3+y^3+1\geq xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$

$\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:

$\text{VT}\geq \frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

lớp 10 rồi ....... khá là khó 

\(x^2+2y^2+3=x^2+y^2+y^2+1+2\ge2xy+2y+2\)

\(z^2+2x^2+3\ge2zx+2x+2\)

\(y^2+2z^2+3\ge2yz+2z+2\)

Dễ chứng minh được \(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{1}{yz+z+1}+\dfrac{1}{zx+x+1}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{1}{yz+z+1}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Vì x+y+z=0

=>  \(\hept{\begin{cases}x+y=-z\\y+z=-x\\x+z=-y\end{cases}}\)

Ta có  \(A=\frac{x}{y+z-x}+\frac{y}{x+z-y}+\frac{z}{x+y-z}\)

\(=\frac{x}{-x-x}+\frac{y}{-y-y}+\frac{z}{-z-z}=\frac{x}{-2x}+\frac{y}{-2y}+\frac{z}{-2z}\)

\(=\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}=\frac{-3}{2}\)

Lời giải:

Vì $0\leq x,y,z\leq 1$ nên:
$x(x-1)(y-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow x^2y\geq x^2+xy-x$

Tương tự và cộng theo vế:

$x^2y+y^2z^2+z^2x+1\geq x^2+y^2+z^2+(xy+yz+xz)-(x+y+z)+1(*)$

Lại có:

$(x-1)(y-1)(z-1)\leq 0$

$\Leftrightarrow xyz-(xy+yz+xz)+(x+y+z)-1\leq 0$

$\Leftrightarrow xy+yz+xz-(x+y+z)\geq xyz-1\geq -1$ do $xyz\geq 0(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x+1\geq x^2+y^2+z^2$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(0,1,1); (0,0,1)$ và hoán vị.