Lời giải:

$M,N$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow MN\parallel BC$ hay $MN\parallel HP$

$\Rightarrow MNPH$ là hình thang $(*)$

Mặt khác:
Tam giác vuông $ABH$ có $HM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $HM=\frac{AB}{2}=MB$ (bổ đề quen thuộc)

$\Rightarrow $MHB$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{MBH}$

Mà $\widehat{MBH}=\widehat{NPC}$ (hai góc đồng vị với $NP\parallel AB$)

$\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{NPC}$

$\Rightarrow 180^0-\widehat{MHB}=180^0-\widehat{NPC}$

Hay $\widehat{MHP}=\widehat{NPH}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow $MNPH$ là hình thang cân (đpcm)

Hình vẽ: 

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB;N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MN//BC\) (tính chất đường trung bình).

\( \Rightarrow MN//HP\left( {H;P \in BC} \right)\)

Xét tứ giác \(MNPH\) có: \(MN//HP \Rightarrow \) tứ giác \(MNPH\) là hình thang.

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB;P\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MP = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình) (1).

- Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) có:

\(N\)là trung điểm của \(AC\) nên \(HN = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(MP = HN\).

Xét hình thang \(MNPH\) có: \(MP = HN\) (chứng minh trên).

Do đó, hình thang \(MNPH\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).

bài này dễ lắm

câu a bạn tự làm nha vì nó quá dễ rồi

b) Mình xin đính chính lại là P là trung điểm của AB chứ không phải B, bạn viết lộn rùi

Gọi O là giao điểm của PN và AH

Ta có: P là trung điểm của AB (gt)

          BO// BH ( t/c đướng trung bình, đã cm ở câu a)

  => O là trung điểm của AH => AO = OH

Xét tam giác APO và tam giác HPO có:

     BO là cạnh chung

     Góc POH = góc POA = 90 độ ( PN là đướng trung trực của AH )

     AO = HO (cmt)

 => Tam giác APO = tam giác HPO ( c-g-c)

 => Góc OPH = góc OPA ( 2 góc tương ứng) (5)

Ta có: PN là đướng trung bình của tam giác ABC ( cm ở câu a)

   => PN = \(\frac{1}{2}\)BC (1) => PN // BC

  Mà M là trung điểm của BC (gt) => BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC (2)

Từ (1) và (2) => PN = BM = MC hay PN = BM, PN = BM (3)

 Ta lại có: PN//BC => PN//BM (4)

 Từ (3) và ( 4) => PNMB là hình bình bình hành => NM //PB => NM//AP => góc OPA = góc MNP ( cặp góc slt) (6)

Mà PN//HM ( PN//BC, t/c đướng trung bình) => MNPH là hình thang (7)

 Từ(5), (6) và (7) MNPH là hình thang cân

BO sao lại sog song với BH

Đừng có hỏi nữa 

Bài 1: 

a: Ta có: ΔABH vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

nên \(HM=\dfrac{AB}{2}=AM=BM\)

Ta có: ΔACH vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

nên \(HN=\dfrac{AC}{2}=AN=NC\left(1\right)\)

Ta có: MA=MH

nên M nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: NA=NH

nên N nằm trên đường trung trực của AH(2)

từ (1) và (2) suy ra MN là đường trung trực của AH

b: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MN//BC

hay MN//HP

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

P là trung điểm của BC

Do đó: MP là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: \(MP=\dfrac{AC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MP=HN

Xét tứ giác MNPH có MN//PH

nên MNPH là hình thang

mà MP=HN

nên MNPH là hình thang cân