Có: \(\frac{a}{1+ab}=\frac{b}{1+bc}=\frac{c}{1+ac}\)

Vì a, b, c đôi một khác nhau nên suy ra a, b, c khác 0.

=> \(\frac{1+ab}{a}=\frac{1+bc}{b}=\frac{1+ac}{c}\)

=> \(\frac{1}{a}+b=\frac{1}{b}+c=\frac{1}{c}+a\)

=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+b=\frac{1}{b}+c\\\frac{1}{b}+c=\frac{1}{c}+a\\\frac{1}{c}+a=\frac{1}{a}+b\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}\frac{b-a}{ab}=c-b\\\frac{c-b}{bc}=a-c\\\frac{a-c}{ac}=b-a\end{cases}}\)

Nhân vế theo vế ta có: \(\frac{\left(b-a\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}{ab.bc.ac}=\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(b-a\right)\)

=> \(\frac{1}{a^2b^2c^2}=1\)

=> \(\left(abc\right)^2=1\)

=> \(M=abc=\pm1\)

Hiển nhiên \(a;b;c\ne0\)

Đặt \(a^2-ab=b^2-bc-c^2-ca=k\ne0\) (do a;b;c phân biệt và khác 0)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=\dfrac{k}{a}\\b-c=\dfrac{k}{b}\\c-a=\dfrac{k}{a}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=\dfrac{k}{a}+\dfrac{k}{b}+\dfrac{k}{c}\)

\(\Rightarrow0=\dfrac{k}{a}+\dfrac{k}{b}+\dfrac{k}{c}\)

\(\Rightarrow k\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{0}{k}=0\)

Các số ab=a.b hay ab=ab;bc=b.c hay bc=bc;ca=a.c hay ca=ca

Và abc=a.b.c hay abc=abc

Trả lời nhanh mk giúp cho

Chúc bn học tốt

Lời giải:
Đổi \((\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})=(x,y,z)\) thì bài toán trở thành

Cho $x,y,z$ thực dương phân biệt tm: $\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$

CMR: $xyz=1$

-----------------------------

Có:

$\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$

$\Leftrightarrow y+\frac{1}{x}=z+\frac{1}{y}=x+\frac{1}{z}$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y-z=\frac{x-y}{xy}\\ z-x=\frac{y-z}{yz}\\ x-y=\frac{z-x}{xz}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (y-z)(z-x)(x-y)=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{x^2y^2z^2}\)

Mà $x,y,z$ đôi một phân biệt nên $(x-y)(y-z)(z-x)\neq 0$

$\Rightarrow 1=\frac{1}{x^2y^2z^2}$

$\Rightarrow x^2y^2z^2=1$
$\Rightarrow xyz=1$ (do $xyz>0$)

Ta có đpcm.

Nhân khai triển tử và mẫu của B, thấy ab + bc + ca thì thay bằng 1

Ta có A=\(\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-abc\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

=\(2\left(a+b+c\right)+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}-\frac{ab}{c}-\frac{bc}{a}-\frac{ca}{b}=2\left(a+b+c\right)\)

\(A=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+3ab\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]+6a^2b^2=a^2-ab+b^2+3ab\left(1-2ab\right)+6a^2b^2\)

=\(\left(a+b\right)^2-3ab+3ab-6a^2b^2+6a^2b^2=1\)

2) Ta có \(A=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\)