Câu 1:

\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)

Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=1/2

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)

CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Giờ bạn cần bài này nữa không 

1.   Đặt A = x²+y²+z²

             B = xy+yz+xz

             C = 1/x + 1/y + 1/z

Lại có (x+y+z)²=9

             A + 2B = 9

  Dễ chứng minh A>=B 

      Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)

Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1 

    C = (x+y+z) /3x  +  (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z

C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x) 

Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2

=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)

P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1

Vậy ...........

Câu 2 chưa ra thông cảm 

\(P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}\)

\(=\frac{1}{x\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}+\frac{1}{y\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)}+\frac{1}{z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)}\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\) thì \(a^2+b^2+c^2=1\) Ta cần chứng minh:

\(P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)

\(=\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\)

\(=\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}+\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}+\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)

Theo đánh giá bởi AM - GM ta có:

\(a^2\left(1-a^2\right)^2=\frac{1}{2}\cdot2a^2\cdot\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)

\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)^2\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{a^2}{a\left(1-a\right)^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)

Tương tự rồi cộng lại ta có ngay điều phải chứng minh

Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)

Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)

\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)

\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)

Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1

Xét: \(\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)\(=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=x-y\)(1)

Tương tự, ta có: \(\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}-\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}=y-z\)(2); \(\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}-\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}=z-x\)(3)

Cộng theo vế của 3 đẳng thức (1), (2), (3), ta được:

\(\left[\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]\)\(-\left[\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]=0\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)\(=\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

Mà \(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)nên \(2A=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)\(\ge\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2}}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right)\)\(\ge\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}{x+y}+\frac{\frac{\left(y+z\right)^2}{2}}{y+z}+\frac{\frac{\left(z+x\right)^2}{2}}{z+x}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}\)(Do theo giả thiết thì x + y + z = 1)

\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Bài này t làm rồi, "nhẹ" không ấy mà :|

Dự đoán khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\Rightarrow A=\frac{1}{4}\). Ta c/m nó là GTNN của A

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(A=Σ\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)

Cần chứng minh BĐT \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{x+y+z}{4}\)

\(\Leftrightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(x+y+z\right)Σ\left(2x^3+x^2y+x^2z\right)\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+6x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+4x^2y^2\right)+Σ\left(2x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(x^4-3x^3y+4x^2y^2-3xy^3+y^4\right)+Σ\left(x^2z^2-2z^2xy+y^2z^2\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)+Σz^2\left(x-y\right)^2\ge0\)

BĐT cuối đúng tức ta có \(A_{Min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

P/s: Nguồn lời giải Câu hỏi của Vo Trong Duy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath, rảnh quá ngồi gõ lại :V

Bạn kia làm ra kết quả đúng nhưng cách làm thì tào lao nhưng vẫn ra ???

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)

Tương tự:\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\frac{3}{2}\),\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}\)

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta được:

\(P+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left(x+y+z\right)+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow P+\frac{3}{2}+\frac{6}{4}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2+x}=\frac{x}{2}=\frac{x+1}{4}\\\frac{1}{y^2+y}=\frac{y}{2}=\frac{y+1}{4}\\\frac{1}{z^2+z}=\frac{z}{2}=\frac{z+1}{4},x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=1\)

Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có

\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+x+y+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Đặt: \(E=\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

Ta có: \(F-E=\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4-z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4-x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

\(=\left(x-y\right)+\left(y-z\right)+\left(z-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow F=E\)

Từ đó ta có:

\(2F=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

\(\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

\(=\frac{\left(x^2+y^2\right)}{2\left(x+y\right)}+\frac{\left(y^2+z^2\right)}{2\left(y+z\right)}+\frac{\left(z^2+x^2\right)}{2\left(z+x\right)}\)

\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)}+\frac{\left(y+z\right)^2}{4\left(y+z\right)}+\frac{\left(z+x\right)^2}{4\left(z+x\right)}\)

\(=\frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{z+x}{4}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow F\ge\frac{1}{4}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Bạn ơi, cho mình hỏi này

Sao có \(\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)  và sao có  \(\frac{\left(x^2+y^2\right)}{2}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)}\)  

Giải đáp tận tình hộ mình nhé.