Dây là 4 số  nguyên dương liên tiếp, còn phần  kia tương tự nha

Đặt A = n.(n+1)(n+2)(n+3) với n ≥ 1; n € N 
A = [n.(n+3)].[(n+1)(n+2)] = (n² + 3n).(n²+3n+2) 
= t(t+2) (với t = n² + 3n ≥ 4 ; t € N) 
Ta thấy 
t² < A = t² + 2t < t² + 2t + 1 = (t+1)² 
=> A nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp 
=> A không phải là số chính phương (đpcm)

bạn ơi, mấy bn hok giỏi ko onl ùi

a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương

Biến đổi phương trình ta có : 

\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :

TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)

TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)

TH1 :

\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)

\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )

Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương

b) Ta có : 

\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)

\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)

- Xét 2 trường hợp :

TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)

+) TH1 :

Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )

+) TH2 :

Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )

Cho mình hỏi ở chỗ câu b): Vì sao 2n-1=3p^2 và 2n+1=q^2 vậy ạ?

Gọi 4 số nguyên dương liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3.

Đặt S=n(n+1)(n+2)(n+3)

=n(n+3)(n+1)(n+2)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(n^2+3n)^2 + 2(n^2+3n) +1 -1

=(n^2 +3n +1)^2 - 1 

Sử dụng tính chất kẹp giữa của số chính phương:

(n^2 + 3n)^2 < (n^2 + 3n + 1)^2 - 1 < (n^2 + 3n +1)

Trên đây là 2 số chính phương liên tiếp nên S không là số chính phương.

Gọi tích 4 số nguyên dương liên tiếp đó là A=(a-1)a(a+1)(a+2)

A = [(a-1)(a+2)][a(a+1)] = (a^2+2a-a-2)(a^2+a) = (a^2+a-2)(a^2+a)

Đặt a^2+a-1=x; thế thì A=(x-1)(x+1)=x^2-1 không phải là số chính phương

G/s 3 số nguyên dương đó là: \(a;a+1;a+2\) với \(a\inℕ\)

Ta có: \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)=a^3+3a^2+2a\)

Xét: \(a^3+3a^2+2a>a^3\)

Mặt khác: \(a^3+3a^2+2a< a^3+3a^2+3a+1=\left(a+1\right)^3\)

=> \(a^3< a^3+3a^2+2a< \left(a+1\right)^3\)

Mà \(a^3;\left(a+1\right)^3\) là 2 số lập phương liên tiếp

=> \(a^3+3a^2+2a\) không là lập phương của 1 số tự nhiên

=> đpcm

Không Thể  được . 3 số nguyên dương có tích ko phải là lập phương 

Chứng minh tích 3 số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.

Giải như sau:
$a(a+1)(a+2)=x^2$ với $a>0,x>0$
TH1: $a$ lẻ suy ra $gcd(a,a+1)=1,gcd(a+1,a+2)=1,gcd(a,a+2)=1$
Do đó $a=m^2,a+1=n^2,a+2=p^2$ với $mnp=x$
Suy ra $n^2-m^2=1 \Rightarrow (n-m)(n+m)=1 \Rightarrow n=1,m=0$ suy ra $a=0$ loại do $a>0$
TH2: $a$ chẵn suy ra $a=2t$ do đó $4t(2t+1)(t+1)=x^2 \Rightarrow x=2x'$
Suy ra $t(2t+1)(t+1)=x'^2$ lúc này $gcd(t,2t+1)=gcd(t,t+1)=gcd(2t+1,t+1)=1$
Suy ra $t=m^2,2t+1=n^2,t+1=p^2,mnp=x' \Rightarrow p^2-m^2=1$ cũng loại vì khi đó $t=0$ thì $a=0$ loại
Đây chính là $đpcm$ 

a) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là: n ; n+1; n+2; n+3 (n thuộc N)

Ta có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)

    \(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\left(\cdot\right)\)

Đặt n² + 3n = t (t thuộc N) thì \(\left(\cdot\right)=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2=\left(n^2+3n+1\right)^2\)

Vì n thuộc N nên (n²+3n+1) thuộc N

=> Vậy n(n+1)(n+2)(n+3)+1 là 1 số chính phương

tính giá trị của biểu thức 

a, 2x^2(ax^2+2bx+4c)=6x^4-20x^3-8x^2 với mọi x

b, (ax+b)(x^2-cx+2)=x^3+x^2-2 với mọi x