HAY DAY CHANG TRAI TRE

Cho tam giác $ABC$ không có góc tù $(AB<AC)$, nội tiếp đường tròn $(O;R)$, ($B$, $C$ cố định, $A$ di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, đường thẳng này cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ ($D$ thuộc cung nhỏ $BC$), cắt $BC$ tại $F$, cắt $AC$ tại $I$. Chứng minh rằng $\widehat{MBC}=\widehat{BAC}$ . Từ đó suy ra $MBIC$ là tứ giác nội tiếp.

 theo gt, ta co:

goc MBC= BAC (cung chan cung BC)

mat khac, ta lai co goc BAC = MIC ( dong vi)

=> goc MBC= MIC

=> tu giac BICM noi tiep 

a) Có ^AOB = 180⁰ - ^OAB - ^OBA = 180⁰ - ^BAC/2 - ^ABC/2 = 90⁰ + (180⁰ - ^BAC - ^ABC)/2 = 90⁰ + ^ACB/2

b) Dễ thấy A,M,O,E cùng thuộc đường tròn đường kính OA (Vì ^AMO = ^AEO = 90⁰) (1)

Ta có ^AOK = 180⁰ - ^AOB = 180⁰ - (90⁰ + ^ABC/2) = 90⁰ - ^ACB/2 = ^CEN (Do \(\Delta\)CEN cân tại C)

=> Tứ giác AOKE nội tiếp hay A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra năm điểm A,M,K,O,E cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

c) Ta thấy A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (cmt) và OK cắt AE tại T

Nên \(\frac{KT}{ET}=\frac{AT}{OT}\)(Hệ thức lượng đường tròn). Kết hợp \(\frac{AT}{OT}=\frac{AB}{OB}\)(AO là phân giác ^BAT)

Suy ra \(\frac{KT}{ET}=\frac{AB}{OB}\). Mặt khác: ^BKN = ^OAE = ^BAO và ^NBK = ^OBA => \(\Delta\)BKN ~ \(\Delta\)BAO (g.g)

=> \(\frac{AB}{OB}=\frac{KB}{NB}\). Từ đây \(\frac{KT}{ET}=\frac{KB}{BN}\)=> KT.BN = KB.ET (đpcm).

Đề thi tuyển sinh vào 10 ptnk Hồ Chí Minh 2000-2001

https://text.123doc.org/document/1812116-de-thi-vao-chuyen-toan-10.htm

Bạn vào đây nhé :D

Vẽ đường kính CM

\(MA\perp AC\)(\(\Delta MAC\)nội tiếp)

\(BE\perp AC\)(giả thiết)

\(\Rightarrow\)\(MA//BH\) (1)

\(MB\perp BC\)(\(\Delta MBC\)nội tiếp)

\(AH\perp BC\)(giả thiết)

\(\Rightarrow\)\(MB//AH\)(2)

Từ (1)(2):

\(\Rightarrow\)\(MAHB\)là hình bình hành.

\(\Rightarrow\)\(AH=BM\)

Do\(\widehat{BAC}=60^0\)

\(\Rightarrow BC=R\sqrt{3}\)

Áp dụng địn lí Pytago vào \(\Delta BMC\)

\(BM^2+BC^2=MC^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BM^2=4R^2-3R^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BM^2=R^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BM=\sqrt{R^2}=R\)

\(\Rightarrow\)\(AH=BM=R\)

Mà \(AO=\frac{2R}{2}=R\)

\(\Rightarrow\)\(AH=AO\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta AHO\)cân tại \(A\)(ĐPCM)

2: ΔABC vuông tại A nội tiếp (O)

=>O là trung điểm của BC

BC=căn 6^2+8^2=10cm

=>OB=OC=10/2=5cm

S=5^2*3,14=78,5cm²