a) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;5} \right)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {5; - 3} \right)\), nên ta có phương trình tham số của \(\Delta \) là :

 \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1;1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;5} \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

\(3(x - 1) + 5(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y - 8 = 0\)

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 7} \right)\), nên có phương trình tham số là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 7t\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 7} \right)\),nên có vectơ pháp tuyền là \(\overrightarrow n  = \left( {7;2} \right)\) và đi qua \(O(0;0)\)

Ta có phương trình tổng quát là

\(7(x - 0) + 2(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 7x + 2y = 0\)

c) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M(4;0),N(0;3)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {MN}  = ( - 4;3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (3;4)\)

Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 4t\\y = 3t\end{array} \right.\)

Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là: \(3(x - 4) + 4(x - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0\)

a) \(\Delta \) song song với đường thẳng \(3x + y + 9 = 0\) nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\)

\(\Delta \) đi qua điểm \(A(2;1)\) nên ta có phương trình tổng quát

  \(3\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 7 = 0\)

\(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 3} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là:

 \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\)

b) \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(2x - y - 2 = 0\) nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right)\)

\(\Delta \) đi qua điểm \(B( - 1;4)\) nên ta có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 4 - t\end{array} \right.\)

\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \)là:

  \(\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0\)

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm \(A\left( { - 3;2} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3} \right)\) là: \(2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y+12 = 0\)

Do vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (2; - \;3) \Rightarrow \overrightarrow u  = (3;2)\)

Từ đó ta có phương trình tham số của đường thẳng d là:

 \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \;3 + 3t\\y = 2 + 2t\end{array} \right.\)\((t \in \mathbb{R})\)

b) Phương trình tham số của  đường thẳng d đi qua điểm \(B\left( { - 2; - 5} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 7;6} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 7t\\y =  - 5 + 6t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Từ đó ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là: \(\frac{{x + 2}}{{ - 7}} = \frac{{y + 5}}{6} \Leftrightarrow 6x + 7y + 47 = 0\).

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(C\left( {4;3} \right),D\left( {5;2} \right)\) là: \(\frac{{x - 4}}{{5 - 4}} = \frac{{y - 3}}{{2 - 3}} \Leftrightarrow x + y - 7 = 0\)

Từ đó ta có phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 - t\\y = t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) .

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A( - 1;5)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\), nên có phương trình tham số là:

 \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 5 + t\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\),nên có vectơ pháp tuyền là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\) và đi qua \(A( - 1;5)\)

Ta có phương trình tổng quát là

 \((x + 1) - 2(y - 5) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 11 = 0\)

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;3} \right)\), và đi qua điểm \(B(4; - 2)\) nên ta có phương trình tham số của \(d\) là :

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y =  - 2 + 3t\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B(4; - 2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

\(3(x - 4) - 2(y + 2) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 16 = 0\)

c) Đường thẳng \(d\) có dạng \(y = ax + b\)

d đi qua \(P(1;1)\) và có hệ số góc \(k =  - 2\) nên ta có:

\(1 =  - 2.1 + b \Rightarrow b = 3\)

Suy ra đồ thị đường thẳng d có dạng \(y =  - 2x + 3\)

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là \(y + 2x - 3 = 0\)

Suy ra đường thẳng d  có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\), nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2} \right)\) và đi qua điểm \(P(1;1)\) nên ta có phương trình tham số của d là :

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\)

 d) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(Q(3;0)\)và \(R(0;2)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {QR}  = ( - 3;2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (2;3)\)

Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 3t\\y = 2t\end{array} \right.\)

Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là: \(2(x - 3) + 3(x - 0) =  \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0\)

Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương

a → = (3; 3; 1) là: 

Phương trình chính tắc của  ∆ là:

∆  đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương  CD →  = (1; 2; 3)

Vậy phương trình tham số của  ∆  là

Phương trình chính tắc của  ∆  là:

a) Nếu  b = 0 và \(a \ne 0\) thì phương trình đường thẳng \(\Delta \) trở thành \(ax + c = 0\) . Khi đó đường thẳng \(\Delta \) song song hoặc trùng với trục \(Oy\) và cắt trục \({\rm{O}}x\) tại điểm \(\left( { - \frac{c}{a};0} \right)\).

b) \(b \ne 0\) và a = 0 thì phương trình đường thẳng \(\Delta \) trở thành \(by + c = 0\) . Khi đó đường thẳng \(\Delta \) song song hoặc trùng với trục \({\rm{O}}x\) và cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0; - \frac{c}{b}} \right)\).

c) Nếu \(b \ne 0\) và \(a \ne 0\)thì phương trình đường thẳng \(\Delta \) có thể viết thành \(y =  - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b}\). Khi đó, đường thẳng \(\Delta \) là đồ thị hàm số bậc nhất \(y =  - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b}\)vời hệ số góc là \(k =  - \frac{a}{b}\).

\(\Delta\left\{{}\begin{matrix}quaA\left(3;-1\right)\\VTPT\overrightarrow{n}=\left(-2;1\right)\end{matrix}\right.\)

\(PTTQ\) của \(\Delta:a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x-3\right)+1\left(y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-2x+6+y+1=0\)

\(\Leftrightarrow-2x+y+7=0\)

Vậy pt tổng quát của \(\Delta\) là \(-2x+y+7=0\)