Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 sô dương ta có

\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3.y^3}=3xy\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\left(1\right)\)

tương tự

\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\left(2\right);\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\left(3\right)\)

mặt khác \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}}\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\ge3\sqrt{3}\left(4\right)\)

Cộng các BĐT 1,2,3,4 ta đc đpcm

Đẳng thức xảy ra khi (1) (2) (3) (4) là các đẳng thức <=> x=y=z=1

nguồn : ĐH 2005A-db1

mình trả lời r mà sao chưa hiện ra thế nhỉ ??

Xem lại đề bài đi. Đó có phải là bài toán không?

thieu de ban oi 

1111111111111111111

\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)

Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)

Là xong.

Ta có:

\(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

\(1+y^2=xy+yz+xz+y^2=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\)

\(1+z^2=xy+yz+xz+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)

Thay vào A được:

\(P=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\)\(+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

\(=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)

\(=xy+xz+xy+yz+xz+zy\)

\(=2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(=2\)(do xy+yz+xz=1)

=>Đpcm

Dạng toán này rất nhiều bạn hỏi rồi: thay \(xy+yz+zx=1\) vào các căn thức rồi phân tích đa thức thành nhân tử.

a) Ta có : \(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)

b) \(\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\right)=\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right).\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\right)\)

\(=\Sigma\left(x\left(y+z\right)\right)=xy+xz+xy+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)

chứng minh $\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(z+1)}+\sqrt{z(x+1)}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(x+1)(y+1)(z+1)}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

A=\(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+y\right)=x+\frac{x}{y}+\frac{1}{y}+1+y+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+1\)

=\(\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)

mà x²+y²=1

=>2(x²+y²)>(=)(x+y)²

\(\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

\(\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\ge\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)+4\)

                                                                            \(=\left[\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}+\frac{2}{x+y}\right]+4\ge2\sqrt{2}+\sqrt{2}+4=4+3\sqrt{2}\)

Câu hỏi của Nguyễn Quỳnh Nga - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath