a/\(P\left(x\right)=\left(6x^3+9x^2\right)-\left(16x^2+24x\right)+\left(8x+m\right)\)

\(\Leftrightarrow P\left(x\right)=3x^2\left(2x+3\right)-8x\left(2x+3\right)+\left(8x+m\right)⋮2x+3\)

\(\Rightarrow8x+m⋮2x+3\). Chỉ có thể \(8x+m=4\left(2x+3\right)\Rightarrow m=12\)

b/Áp dụng Betzout ta có

\(x=\frac{2}{3}\) là nghiệm của đa thức chia nên \(P\left(\frac{2}{3}\right)=r\) ( với r là đa thức bậc 0, vì đa thức chia bậc 1). Thế x=2/3 đc dư

-\(P\left(x\right)=3x^2\left(2x+3\right)-8x\left(2x+3\right)+4\left(2x+3\right)=\left(2x+3\right)\left(3x^2-8x+4\right)=\left(2x+3\right)\left(3x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)\right)=\left(2x+3\right)\left(3x-2\right)\left(x-2\right)\)

Ta nhận thấy quy luật \(P\left(1\right)=1,P\left(2\right)=4,P\left(4\right)=16,P\left(5\right)=25\Rightarrow P\left(x\right)=x^2\)

Vậy \(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)+x^2\)

Thay x=6,7 rồi tính

\(f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x+m\)

Do \(f\left(x\right)\) chia hết \(2x-5\), theo định lý Bezout:

\(f\left(\dfrac{5}{2}\right)=0\Rightarrow6.\left(\dfrac{5}{2}\right)^3-7.\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-16.\left(\dfrac{5}{2}\right)+m=0\)

\(\Rightarrow m=-10\)

Khi đó  \(f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x-10\)

Số dư phép chia cho \(3x-2\):

\(f\left(\dfrac{2}{3}\right)=6.\left(\dfrac{2}{3}\right)^3-7.\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-16.\left(\dfrac{2}{3}\right)-10=-22\)

$f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x+m$

Do $f\left(x\right)$ chia hết $2x-5$, theo định lý Bezout:

$f\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=0\Rightarrow 6.{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}^3-7.{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}^2-16.\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)+m=0$

$\Rightarrow m=-10$

Khi đó  $f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x-10$

Số dư phép chia cho $3x-2$:

$f\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}\right)=6.{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}\right)}^3-7.{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}\right)}^2-16.\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}\right)-10=-22$

a/ \(2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\)

Để \(P\left(x\right)⋮\left(2x+3\right)\Leftrightarrow P\left(-\frac{3}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m-12=0\Rightarrow m=12\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x+12\)

b/ \(3x-2=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}\)

\(P\left(\frac{2}{3}\right)=0\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)⋮\left(3x-2\right)\) dư 0 hay \(P\left(x\right)\) chia hết \(3x-2\)

\(6x^3-7x^2-16x+12=\left(2x+3\right)\left(3x-2\right)\left(x-2\right)\)

Bài 1:

a, \(A=x\left(6-x\right)+74+x=-x^2+6x+74+x=-x^2+7x+74\)

\(=-\left(x^2-2\cdot x\cdot3,5+\dfrac{49}{4}\right)+\dfrac{345}{4}\)

\(=-\left(x-3,5\right)^2+\dfrac{345}{4}\)

Có: \(-\left(x-3,5\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x-3,5\right)^2+\dfrac{345}{4}\le\dfrac{345}{4}\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = 3,5

Vậy A_max = \(\dfrac{345}{4}\) khi x = 3,5

b, \(B=5x-x^2=-x^2+5x-\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}\)

\(=-\left(x^2-2\cdot x\cdot2,5+\dfrac{25}{4}\right)+\dfrac{25}{4}\)

\(=-\left(x-2,5\right)^2+\dfrac{25}{4}\)

Có: \(-\left(x-2,5\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x-2,5\right)^2+\dfrac{25}{4}\le\dfrac{25}{4}\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = 2,5

Vậy B_max = \(\dfrac{25}{4}\) khi x = 2,5

Bài 2:

a, m = 12 (cái này dùng máy tính mà bấm, nhanh gọn lẹ)

b, Không đặt phép tính đc, vs lại ý này dễ, tính tay --> r = 0

c, \(P\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x+12\)

\(=6\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\left(x-2\right)\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\)

\(=\left(2x+3\right)\left(x-2\right)\left(3x-2\right)\)

Giải trên máy Casio fx-570MS ( Casio fx-570 tương tự)

Nhắc lại: Đa thức P(x) chia hết cho ax + b khi và chỉ khi P(-ba)=0

              Dư của phép chia đa thức P(x) cho ax + b là P(-ba)

Quy trình bấm phím như sau:

1. Ghi vào màn hình: 6A3 -7A2 -16A

cám ơn bạn nha!

a) Ta có: P(x) = 3y + 6 có nghiệm khi

3y + 6 = 0

3y = -6

y = -2

Vậy đa thức P(y) có nghiệm là y = -2.

b) Q(y) = y⁴ + 2

Ta có: y⁴ có giá trị lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi y

Nên y⁴ + 2 có giá trị lớn hơn 0 với mọi y

Tức là Q(y) ≠ 0 với mọi y

Vậy Q(y) không có nghiệm.