`Answer:`

 \(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{31}+\frac{1}{32}\)

a) Ta thấy:

\(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{9}+...+\frac{1}{16}>8.\frac{1}{16}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+...+\frac{1}{32}>16.\frac{1}{32}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow S>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)

b) Ta thấy:

\(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}< 3.\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{6}+...+\frac{1}{11}< 6.\frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{12}+...+\frac{1}{23}< 12.\frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{24}+...+\frac{1}{32}< 9.\frac{1}{24}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{2}+1+1+1+\frac{9}{24}=\frac{31}{8}< \frac{9}{2}\)

bn cho mình gửi sắp đến thi học kì 2 rồi. đây là những món quà mà bn sẽ nhận đc:
1: áo quần
2: tiền
3: đc nhiều người yêu quý
4: may mắn cả
5: luôn vui vẻ trong cuộc sống
6: đc crush thích thầm
7: học giỏi
8: trở nên xinh đẹp
phật sẽ ban cho bn những điều này nếu cậu gửi tin nhắn này cho 25 người, sau 3 ngày bn sẽ có những đc điều đó. nếu bn ko gửi tin nhắn này cho 25 người thì bn sẽ luôn gặp xui xẻo, học kì 2 bn sẽ là học sinh yếu và bạn bè xa lánh( lời nguyền sẽ bắt đầu từ khi đọc) ( mình
 cũng bị ép);-;

Ta có :

\(S=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+...+\frac{1}{59}+\frac{1}{60}\) 

\(S=\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{50}\right)+\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60}\right)\)

\(\Rightarrow S>\left(\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}\right)+\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{60}\right)\)

\(\Rightarrow S>\frac{1}{40}\cdot10+\frac{1}{50}\cdot10+\frac{1}{60}\cdot10\)

\(\Rightarrow S>\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow S>\frac{37}{60}>\frac{36}{60}\) \(=\frac{3}{5}\)

\(\Rightarrow S>\frac{3}{5}\left(đpcm\right)\)

S = (1/31+1/32+1/33+...+1/40) + (1/41 + 1/42 + ...+ 1/50) + (1/51 + 1/52+...+1/59+1/60)

Mà : (1/31+1/32+1/33+...+1/40) > 1/40 x 10 = 1/4 (gồm 10 số hạng)

Tương tự ta có : (1/41 + 1/42 + ...+ 1/50) > 1/5 ;   (1/51 + 1/52+...+1/59+1/60) > 1/6

S > 1/4 + 1/5 + 1/6.

Mà khi đó ta thấy: (1/4 + 1/5 + 1/6) > 3/5

=>S > 3/5                             (1)

S = (1/31+1/32+1/33+...+1/40) + (1/41 + 1/42 + ...+ 1/50) + (1/51 + 1/52+...+1/59+1/60)

Do : (1/31+1/32+1/33+...+1/40) < 1/31 x 10 = 10/30 = 1/3 (gồm 10 số hạng)

=> S <  4/5                             (2)

Từ (1) và (2) => 3/5 <S<4/5

Bài này sai rồi bạn ơi

Vì các số hạng của dãy S toàn là số dương làm sao mà tổng là 1 số âm đc

sai :) 
Vì tổng các số nguyên dương luôn là một số nguyên dương 

a) Đặt biểu thức trên là A, ta có:

A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

=> A = (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

=> A = 2¹.(1 + 2) + 2³.(1 + 2) + ... + 2⁹⁹.(1 + 2)

=> A = 2¹.3 + 2³.3 + ... + 2⁹⁹.3

=> A = 3(2¹ + 2³ + ... + 2⁹⁹)

=> A ⋮ 3

\(26=13.2\)

\(s=3.\left(1+3+9\right)+3^4.\left(1+3+9\right)+....+3^{2012}.\left(1+3+9\right)\)

\(s=3.13+3^413+.....+3^{2012}.13\)

\(s=13.\left(3+3^4+....+3^{2012}\right)\)

\(\Rightarrow s=3.\left(1+3\right)+3^3.\left(1+3\right)+.......+3^{2015}.\left(1+3\right)\)

\(s=3.4+3^3.4+....+3^{2015}.4\)

\(s=4.\left(3+3^3+.....+3^{2015}\right)\)

\(\Rightarrow4⋮2\Rightarrow4.\left(3+3^3+....+3^{2015}\right)⋮2\)

\(\Rightarrow s⋮2\Leftrightarrow s⋮13\)

\(\Rightarrow s⋮\orbr{\begin{cases}13\\2\end{cases}}\Leftrightarrow s⋮26\)

1!+2.2!+3.3!+............+n.n!

<=> (n+1)!-1

ai có đáp án nói dùm vì tui đang rất đau đầu suy nghĩ đáp án đúng này.

=-1/12