Ta có: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2020}+\sqrt{2021}}\)

\(=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{2021}-\sqrt{2020}\)

\(=-\sqrt{2}+\sqrt{2021}\)

TA XÉT PHÂN THỨC TỔNG QUÁT SAU:   

\(A=\frac{1}{n\sqrt{n+1}+\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

\(A=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}.\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)

\(A=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n\left(n+1\right)}.\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(n+1-n\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}\)

\(A=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

THAY LẦN LƯỢT CÁC GIÁ TRỊ n từ 1 => 2021 vào ta được: 

=>    \(A=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2020}}-\frac{1}{\sqrt{2021}}\)

=>   \(A=1-\frac{1}{\sqrt{2021}}=\frac{\sqrt{2021}-1}{\sqrt{2021}}\)

VẬY    \(A=\frac{\sqrt{2021}-1}{\sqrt{2021}}.\)

Ta có: \(\frac{1}{\left(a-1\right)\sqrt{a}+a.\sqrt{a-1}}=\frac{a-\left(a-1\right)}{\sqrt{a}.\sqrt{a-1}.\left(\sqrt{a}+\sqrt{a-1}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{a-1}\right)}{\sqrt{a}.\sqrt{a-1}.\left(\sqrt{a}+\sqrt{a-1}\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}{\sqrt{a}.\sqrt{a-1}}\)

\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}.\sqrt{a-1}}-\frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a}.\sqrt{a-1}}=\frac{1}{\sqrt{a-1}}-\frac{1}{\sqrt{a}}\)

Thay lần lượt các giá trị của a bằng \(2;3;4;........;2021\)ta được:

\(S=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+.........+\frac{1}{\sqrt{2020}}-\frac{1}{\sqrt{2021}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2021}}=1-\frac{1}{\sqrt{2021}}\)

2.1

\(A=\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5+2\sqrt{5.1}+1}-\sqrt{5-2\sqrt{5.1}+1}\)

\(=\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=|\sqrt{5}+1|-|\sqrt{5}-1|=2\)

2.2

\(B\sqrt{2}=\sqrt{8+2\sqrt{15}}+\sqrt{8-2\sqrt{15}}-2\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{3+2\sqrt{3.5}+5}+\sqrt{3-2\sqrt{3.5}+5}-2\sqrt{5-2\sqrt{5.1}+1}\)

\(=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}-2\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}\)

\(=|\sqrt{3}+\sqrt{5}|+|\sqrt{3}-\sqrt{5}|-2|\sqrt{5}-1|=2\)

$\Rightarrow B=\sqrt{2}$

Bài 1:

1. ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1\geq 0\\ x-3\geq 0\\ 5-x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{2}\\ x\geq 3\\ x< 5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 3\leq x< 5\)

2.

ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} x-1\geq 0\\ 2-x\geq 0\\ x+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ x\leq 2\\ x>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 1\leq x\leq 2\)

Bạn chia nhỏ ra để nhận được câu tl sớm nhất nhé!Bạn đặt câu hỏi free mà để dày cộp như này khum ai dám làm =(((

1,Ta có : \(\sqrt{11}-\sqrt{10}=\frac{11-10}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}\)

\(\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{6-5}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\)

Dễ thấy : \(11+10>6+5\Rightarrow\sqrt{11}+\sqrt{10}>\sqrt{6}+\sqrt{5}\)

từ đó suy ra : \(\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}< \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}\)( theo so sánh phân số có cùng tử )

Vậy...

2,\(\sqrt{2019}+\sqrt{2021}và2\sqrt{2020}\)

Giả sử : \(\sqrt{2019}+\sqrt{2021}< 2\sqrt{2020}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2019}+\sqrt{2021}\right)^2< \left(2\sqrt{2020}\right)^2\) ( bình phương 2 vế )

\(\Leftrightarrow2019+2021+2\sqrt{2019.2021}< 4.2020\)

\(\Leftrightarrow4040+2\sqrt{2020^2-1^2}< 8080\)

\(\Leftrightarrow\)\(4040+\left(-4040\right)+2\left|2020-1\right|< 8080+\left(-4040\right)\)

( cộng cả hai vế với -4040)

\(\Leftrightarrow2.2019< 4040\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}.2.2019< 4040.\frac{1}{2}\)( nhân hai vế với 1/2)

\(\Leftrightarrow2019< 2020\) ( luôn đúng )

=> điều giả sử đúng

Vậy....

4,Ta có : \(\sqrt{2020}-\sqrt{2019}=\frac{2020-2019}{\sqrt{2020}+\sqrt{2019}}=\frac{1}{\sqrt{2020}+\sqrt{2019}}\)

\(\sqrt{2019}-\sqrt{2018}=\frac{2019-2018}{\sqrt{2019}+\sqrt{2018}}=\frac{1}{\sqrt{2019}+\sqrt{2018}}\)

dễ thấy \(2020+2019>2019+2018\Rightarrow\sqrt{2020}+\sqrt{2019}>\sqrt{2019}+\sqrt{2018}\) Từ đó suy ra : \(\frac{1}{\sqrt{2020}+\sqrt{2019}}< \frac{1}{\sqrt{2020}-\sqrt{2019}}\)

theo ss phân số có cùng tử

Vậy....

phần 5 làm tương tự như phần 4 nhé