Câu hỏi của hoàng thị huyền trang - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!

Từ giả thiết: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7\Leftrightarrow\sqrt{c}=7-\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

Xét hạng tử: \(\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}=\frac{1}{\sqrt{ab}+7-\sqrt{a}-\sqrt{b}-6}=\frac{1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)}\)

Từ đó: \(N=\frac{1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{c}-1\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt{c}-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{c}-1\right)}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}{\sqrt{abc}-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-1}\)

\(=\frac{7-3}{3-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+7-1}=\frac{4}{9-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}\)

Mặt khác: \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2-\left(a+b+c\right)}{2}=13\)

Suy ra: \(N=\frac{4}{9-13}=-1\). Kết luận: N = -1.

Từ giả thiết: \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7\Leftrightarrow\sqrt{c}=7-\sqrt{a}-\sqrt{b}a​+b​+c​=7⇔c​=7−a​−b​

Xét hạng tử: \frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}=\frac{1}{\sqrt{ab}+7-\sqrt{a}-\sqrt{b}-6}=\frac{1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)}ab​+c​−61​=ab​+7−a​−b​−61​=(a​−1)(b​−1)1​

Từ đó: N=\frac{1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{c}-1\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt{c}-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}N=(a​−1)(b​−1)1​+(b​−1)(c​−1)1​+(c​−1)(a​−1)1​

=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{c}-1\right)}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}{\sqrt{abc}-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-1}=(a​−1)(b​−1)(c​−1)a​+b​+c​−3​=abc​−(ab​+bc​+ca​)+(a​+b​+c​)−1a​+b​+c​−3​

=\frac{7-3}{3-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+7-1}=\frac{4}{9-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}=3−(ab​+bc​+ca​)+7−17−3​=9−(ab​+bc​+ca​)4​

Mặt khác: \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2-\left(a+b+c\right)}{2}=13ab​+bc​+ca​=2(a​+b​+c​)2−(a+b+c)​=13

Suy ra: N=\frac{4}{9-13}=-1N=9−134​=−1. Kết luận: N = -1.

Giúp mình với

Chứng minh gì vậy bạn

Bài 1:

Xét số hạng tổng quát \(\frac{1}{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k+3}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2k+3}-\sqrt{2k+1}\right)\) (với k thuộc N)

Áp dụng vào \(P=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+...+\sqrt{25}-\sqrt{23}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{25}-1\right)=2\)

Bài 2: BđT \(\Leftrightarrow\sqrt{b}-\sqrt{a}< \sqrt{b+c}-\sqrt{a+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}< \frac{b-a}{\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}}\Leftrightarrow\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}>\frac{a-b}{\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}}\)

Điều này đúng do a > b nên a - b > 0. Mặt khác \(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}>\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (áp dụng tính chất \(\sqrt{a}< \sqrt{a+m}\left(\text{chị tự chứng minh}\right)\text{với a, m}\ge0\)

bạn ơi tại sao \(\frac{1}{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k+3}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2k+3}-\sqrt{2k+1}\right)\)

biến dổi tương đương

cộng trừ VT\(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\)

Quy đống lên ta có

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)bạn quy đồng lên rùi lm tiep