a ) a.Vì P∈Trung trực của BC

\(\Rightarrow PB=PC\)

Ta có : AP là phân giác \(\widehat{BAC},PH\perp AB,PK\perp AC\Rightarrow PH=PK\)

Mà \(\widehat{PHB}=\widehat{PKC}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta PBH=\Delta PCK\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow BH=CK\)

b ) Ta có : \(PH=PK,\widehat{PHA}=\widehat{PKA}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta PHA=\Delta PKA\)(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow AH=AK\)

\(\Rightarrow\Delta AHK\) cân tại A 

Mà AP là phân giác ^A 

\(\Rightarrow AP\perp HK\)

Qua B kẻ BE // AK , \(E\in HK\)

\(\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{AKH}\)

Do \(\Delta AHK\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AKH}=\widehat{AHK}\)

\(\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{BHE}\Rightarrow BH=BE\)

Mà \(BH=CK\Rightarrow BE=CK\)

Lại có BE // CK => \(\widehat{EBM}=\widehat{MCK}\)

Do M là trung điểm BC \(\Rightarrow MB=MC\Rightarrow\Delta EBM=\Delta KCM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BME}=\widehat{KMC}\)

\(\Rightarrow\widehat{EMK}=\widehat{BME}+\widehat{BMK}=\widehat{CMK}+\widehat{BMK}=\widehat{BMC}=180^0\)

\(\Rightarrow E,M,K\) thẳng hàng 

\(\Rightarrow H,M,K\) thẳng hàng vì E , H , K thẳng hàng 

c ) Do \(PA\perp HK\) ( câu a ) 

\(\Rightarrow AP\perp HK=O\)

Kết hợp AH = AK \(\Rightarrow O\) là trung điểm HK

\(\Rightarrow OH=OK\)

\(\Rightarrow OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=OA^2+OP^2+OH^2+OH^2\)

                                                                 \(=\left(OA^2+OH^2\right)+\left(OP^2+OH^2\right)\)

                                                                    \(=AH^2+PH^2\)

                                                                    \(=AP^2,\left(PH\perp AB\right)\)

a, tứ giác AHDK là hình vuông

Tứ giác AHDK có \(\widehat{H}\)=\(\widehat{A}\)= \(\widehat{K}\)= 90⁰ nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AHDK có đường chéo AD là phân giác \(\widehat{A}\)nên là hình vuông

a: Xét tứ giác AHDK có

\(\widehat{AHD}=\widehat{AKD}=\widehat{KAH}=90^0\)

=>AHDK là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AHDK có AD là phân giác của góc HAK

nên AHDK là hình vuông