tìm các chữ số tận cùng của hai số trên ta có :

A=...3-...3=...0 Vì A có tận cùng là 0 =>A chia hết cho 5 (đpcm)

Ta đi chứng minh \(A⋮2,A⋮5\)

+) Ta có : \(A=99999^{1999}-555557^{1997}\equiv1-1\equiv0\left(mod2\right)\)

\(\Rightarrow A⋮2\)

Lại có : \(99999\equiv\left(-1\right)\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow99999^{1999}\equiv\left(-1\right)\left(mod5\right)\)

Vì \(555557\equiv2\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow555557^{1997}\equiv2^{1997}\left(mod5\right)\)

Ta thấy rằng : \(2^2=4\equiv\left(-1\right)\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow\left(2^2\right)^{998}\equiv1\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow2^{1996}\equiv1\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow2^{1997}\equiv2\left(mod5\right)\)

Do đó : \(555557^{1997}\equiv2\left(mod5\right)\)

Vậy \(A\equiv\left(-1\right)-2\equiv\left(-3\right)\left(mod5\right)\)

Hum.... đề sai.

Cảm ơn bạn nha nhưng mình nghĩ là đề không sai đâu

Ta có: \(A=999993^{1999}-555557^{1997}\)

\(=999993^{1998}.999993-555557^{1996}.555557\)

\(=\left(999993^2\right)^{999}.999993-\left(555557^2\right)^{998}.555557\)

\(=\left(...9\right)^{999}.999993-\left(...9\right)^{998}.555557\)

\(=\left(...9\right).999993-\left(...1\right).555557\)

\(=\left(...7\right)-\left(...7\right)\)\(=\left(...0\right)\)

Chữ số tận cùng của \(A=999993^{1999}-555557^{1997}\) là \(0\).

\(\Rightarrow\)\(A=999993^{1999}-555557^{1997}⋮5\)

Cho \(A=999993^{1999}-555557^{1997}\)

Vì \(^{1999}\) có dạng \(4n+3\) nên \(999993^{1999}=\overline{...7}\)

Vì \(^{1997}\) có dạng \(4n+1\) nên \(555557^{1997}=\overline{...7}\)

Ta có: \(\overline{...7}-\overline{...7}=\overline{...0}\)

\(\overline{...0}⋮5\) \(\Rightarrow\) \(A⋮5\)

Để A chia hết cho5 ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của mỗi số. 

Ta có :

 \(3^{1999}=\left(3^4\right)^{499}\times3^3=81^{499}\times27=......7\)

\(7^{1997}=\left(7^4\right)^{499}\times7=2041^{499}\times7=....7\)

Vậy  A có chữ số tận cùng là 0 nên A chia hết cho 5

Để A chia hết cho 5 thì A phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

Ta có: (1) 999993¹⁹⁹⁹=(999993⁴)⁴⁹⁹. 999993³

Vì 999993⁴ có tận cùng là 1 suy ra (999993⁴)⁴⁹⁹ có tận cùng là 1

999993³ có tận cùng là 7 suy ra (999993⁴)⁴⁹⁹. 999993³ có tận cùng là 7 ( ta nhân 2 chữ số tận cùng lại với nhau 1.7=7)

(2) 555557¹⁹⁹⁷= (555557⁴)⁴⁹⁹ .7

Ta có 555557⁴ có tận cùng là 1 suy ra (555557⁴)⁴⁹⁹ có tận cùng là 1 nên (555557⁴)⁴⁹⁹.7 có tận cùng là 7

 Vậy chữ số tận cùng của A là 7-7=0. Từ đây ta kết luận A chia hết cho 5

A=999993^1999-555557^1997=\(\left(....3^{1996+3}\right)-\left(....7^{1996+1}\right)=\left(....3^{1996}\right)x27-\left(.....7\right)^{1996}\)x7=(....1)x27-(....1)x7

=(....7)-(.....7)=(...0) chia hết cho 5(sử dụng chữ số tận cùng và tính chất chia hết cho 5)

Ta có:

\(A=999993^{1999}-555557^{1997}\)

\(A=999993^{1998}.999993-555557^{1996}.555557\)

\(A=\left(999993^2\right)^{999}.999993-\left(555557^2\right)^{998}.555557\)

\(A=\overline{\left(.....9\right)}^{999}.999993-\overline{\left(.....1\right)}.555557\)

\(A=\overline{\left(.....7\right)}-\overline{\left(.....7\right)}\)

\(A=\overline{\left(.....0\right)}\)

Vì A có tận cùng là 0

\(\Rightarrow A⋮5\) (Đpcm)

Hello bạn ^_^"

Có : 

+) 999993¹⁹⁹⁹ = ...3¹⁹⁹⁹ = ...3¹⁹⁹⁶ x ...3³ = (...3⁴)⁴⁹⁹ x ...3³ = ...1⁴⁹⁹ x ...27 = ...1 x ...7 = ...7

+) 555557¹⁹⁹⁷ = ...7¹⁹⁹⁶ x ...7¹ = (...7⁴)⁴⁹⁹ x ...7 = ...1⁴⁹⁹ x ...7 = ...1 x ...7 = ...7

Ta có : 999993¹⁹⁹⁹ - 555557¹⁹⁹⁷ = ...7 - ...7 = ...0 \(⋮\)5

Vậy ta có điều phải chứng minh !!!

Okê, số có tận cùng là 3 hoặc 7 khi lũy thừa lên 4 sẽ có số tận cùng là 1.

VD :

     46453⁹⁶ = (...3⁴)²⁴ = ...1²⁴ = ...1

nhận thấy:
999993^1999 có chữ số tận cùng là 7 ( vì 1999 : 4 dư 3. ứng với 3 3 = 27 )
555557^1997.có chữ số tận cùng là 7 ( vì 1997 : 4 dư 1. ứng với 7 1 = 7 )
=> 999993^1999 - 555557^1997 có chữ số tận cùng là 0 =>Hiệu chia hết cho 5

Tick nha 

Ta có: 999993¹⁹⁹⁹=(...3)^499.4+3

                         =[(...3)⁴]⁴⁹⁹.(...3)³

                         =(...1)⁴⁹⁹.(...7)

                         =(...1).(...7)

                         =(...7)

Ta có: 555557¹⁹⁹⁷=(...7)^4.499+1

                           =[(...7)⁴]⁴⁹⁹.(...7)¹

                          =(...1)⁴⁹⁹.(...7)

                          =(...1).(...7) 

                         =(...7)

Vậy A=(...7)-(...7)=(...0)

Mà các số có CSTC là 0 thì chia hết cho 5

=>A chia hết cho 5(đpcm)