\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}=\frac{z-\left(x+y+z\right)}{z\left(x+y+z\right)}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}=\frac{-\left(x+y\right)}{z\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\)(x + y)z(x + y + z) + (x + y)xy = 0

\(\Leftrightarrow\)(x + y) [z(x + y + z) + xy] = 0

\(\Leftrightarrow\)(x + y)[z(x + z) + y(x + z)] = 0

\(\Leftrightarrow\) (x + y)(y + z)(z + x) = 0

Trường hợp 1: x + y = 0\(\Leftrightarrow\)x = -y\(\Leftrightarrow\)x²⁰¹⁵ = -y²⁰¹⁵\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x^{2015}}=-\frac{1}{y^{2015}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}=0\)

và x²⁰¹⁵  + y²⁰¹⁵ = 0. Do đó \(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}\)

Trường hợp 2: y + z  = 0 làm tương tự

Trường hợp 3: x + z  = 0 làm tương tự

Vậy bài toán được chứng minh.

Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

tôi mong các bn đừng làm như vậy nha

Ta có\(x\sqrt{\frac{\left(2015+y^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}{xy+yz+zx+x^2}}\)

\(=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=xy+xz\)

Tương tự:\(y\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+y^2}}=yx+yz\)

               \(z\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+y^2\right)}{2015+z^2}}=zx+zy\)

Ta có :\(P=xy+xz+yx+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=4030\)

=>P không phải là số chính phương

bgggggggggggggggggggggytttttttttttrcccccccccceeeeeeeeeeeeedx

rtyuiuydghfrtghhfrfghhgfghjhg

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+3xyz-xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2y+xy^2\right)+\left(yz^2+z^2x\right)+\left(zx^2+2xyz+y^2z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+z^2+yz+zx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

=> x = -y hoặc y = -z hoặc z = -x

Không mất tổng quát giả sử x = -y, khi đó:

\(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=-\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{z^{2015}}\)

\(\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}=\frac{1}{-y^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}=\frac{1}{z^{2015}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}\)

        \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)   (do x+y+z = 2015)

\(\Rightarrow\)\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)

đến đây tự lm nốt nha

chịu

Đặt t=x−z, dễ thấy 0≤t≤x−y⇒t=k(x−y),k∈[0;1]. Ta có:

f(x)+f(y)−f(z)−f(x+y−z)=f(x)+f(y)−f(x−t)−f(y+t)=f(x)+f(y)−f(x−k(x−y))−f(y+k(x−y))=f(x)+f(y)−f((1−k)x+ky)−f(kx+(1−k)y)≥f(x)+f(y)−(1−k)f(x)−kf(y)−kf(x)−(1−k)f(y)=0(Q.E.D