a) Ta có:

7² đồng dư với -1 (mod 50)

=> (7²)¹⁰⁰⁷ đồng dư với (-1)¹⁰⁰⁷ (mod 50)

=> 7²⁰¹⁴ đồng dư với -1 (mod 50)

=> 7²⁰¹⁴ + 1 đồng dư với -1 + 1 (mod 50)

=> 7²⁰¹⁴ + 1 đồng dư với 0 (mod 50)

=> 7²⁰¹⁴ + 1 chia hết cho 50

Ta có: 2+2^2+2^3+2^4+2^5=2+4+8+16+32=62 chia hết cho 31.

          2^6+2^7+2^8+2^9+2^10=2^5x(2+2^2+2^3+2^4+2^5)=2^5x62 chia hết cho 31.

          2^11+2^12+2^13+2^14+2^15=2^10x(2+2^2+2^3+2^4+2^5)=2^10x62 chia hết cho 31.

          ...

Số số hạng trong B là: (100-1):1+1=100(số hạng)

Vì số số hạng là 100 chia hết cho 5 là số số hạng của các tổng chia hết cho 31 như trên nên B chia hết cho 31. 

Ta có: 2+2^2+2^3+2^4+2^5=2+4+8+16+32=62 chia hết cho 31.

          2^6+2^7+2^8+2^9+2^10=2^5x(2+2^2+2^3+2^4+2^5)=2^5x62 chia hết cho 31.

          2^11+2^12+2^13+2^14+2^15=2^10x(2+2^2+2^3+2^4+2^5)=2^10x62 chia hết cho 31.

          ...

Số số hạng trong B là: (100-1):1+1=100(số hạng)

Vì số số hạng là 100 chia hết cho 5 là số số hạng của các tổng chia hết cho 31 như trên nên B chia hết cho 31. 

Ta có:

\(A=3^{2000}+...+3^{2012}+3^{2013}⋮3\left(1\right)\)

Lại có:

\(A=3^{2000}+3^{2001}...+3^{2012}+3^{2013}\)

\(\Rightarrow A=\left(3^{2000}+3^{2001}\right)+...+\left(3^{2012}+3^{2013}\right)\)

\(\Rightarrow A=3^{2000}\left(1+3\right)+...+3^{2012}\left(1+3\right)\)

\(\Rightarrow A=3^{2000}.4+...+3^{2012}.4⋮4\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow A=3^{2000}+...+3^{2012}+3^{2013}⋮12\left(đpcm\right)\)

ta có

\(A=5^{2020}+5^{2019}+5^{2018}+5^{2017}=5^{2018}\left(5^2+1\right)+5^{2017}\left(5^2+1\right)\)

\(=\left(5^{2018}+5^{2017}\right)\left(5^2+1\right)=6.5^{2017}.26=12.5^{2016}.65\) chia hết cho 65.