Bài này cô cũng nghĩ là dùng phương pháp toa độ, chuyển qua hình học giải tích Oxy để giải.

Cô làm như sau:

Từ biểu thức P ta nghĩ đến công thức tính khoảng cách giữa hai điểm. Từ đó ta đặt \(A\left(-1;1\right);B\left(1;-1\right);C\left(-2;-2\right)\) và \(D\left(x;y\right)\). Khi đó ta thấy ngay \(P\left(x;y\right)=DA+DB+DC\)

Ta vẽ các điểm trên trục tọa độ:

Vậy điểm D cần tìm là điểm tạo với các cạnh tam giác góc 120^o. (Để hiểu rõ thêm e có thể đọc về điểm Toricenli của tam giác ABC). Do tam giác ABC cân tại C nên D thuộc CO, nói cách khác x_D = y_D.

Do \(\widehat{ADB}=120^o\Rightarrow\widehat{ADO}=60^o.\) Vậy thì \(tan60^o=\sqrt{3}=\frac{OA}{DO}\)

Do \(OA=\sqrt{2}\Rightarrow DO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Vậy \(\sqrt{x_D^2+y_D^2}=\sqrt{2y_D^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}\Rightarrow\left|x_D\right|=\left|y_D\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Từ hình vẽ ta có:  \(x_D=y_D=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

Vậy \(P\left(x;y\right)=DA+DB+DC=\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)^2}\)

\(+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2}+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+2\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+2\right)^2}\)

\(=\sqrt{6}+2\sqrt{2}.\)

Vậy min P(x;y) = \(\sqrt{6}+2\sqrt{2}\) khi \(x=y=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

Sử dụng HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXY 

Giups mik vs

\(C=\left|2x+1\right|+\left|-2y-1\right|\ge\left|2x+1-2y-1\right|=2\left|x-y\right|=4\)

\(C_{min}=4\) 

TK: Tìm Min (x^4 + 1) (y^4 + 1) với x + y = căn10 ; x , y > 0 - Thanh Truc

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(\sqrt{x\left(2x+y\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3x\left(2x+y\right)}\le\frac{5x+y}{2\sqrt{3}}\)

Tương tự: \(\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\frac{5y+x}{2\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\frac{6\left(x+y\right)}{2\sqrt{3}}=\frac{3\left(x+y\right)}{\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}}\ge\frac{x+y}{\frac{3}{\sqrt{3}}\left(x+y\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y