\(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}=\frac{m}{n}\) (với m;n nguyên dương và nguyên tố cùng nhau)

\(\Leftrightarrow nx+ny\sqrt{2017}=my+mz\sqrt{2017}\)

\(\Leftrightarrow nx-my=\left(mz-ny\right)\sqrt{2017}\)

Vế trái hữu tỉ, vế phải vô tỉ nên dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}nx-my=0\\mz-ny=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{n}{m}=\frac{y}{x}\\\frac{n}{m}=\frac{z}{y}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\Rightarrow y^2=zx\)

\(\left(y+2\right)\left(4zx+6y-3\right)=\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\)

Gọi \(d=ƯC\left(y+2;4y^2+6y-3\right)\)

\(\Leftrightarrow4y^2+6y-3-\left(y+2\right)\left(4y-2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\) là số chính phương khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}y+2=a^2\\4y^2+6y-3=b^2\end{matrix}\right.\) với a;b nguyên dương

Xét \(4y^2+6y-3=b^2\Leftrightarrow16y^2+24y-12=\left(2b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4y+3\right)^2-21=\left(2b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4y+3-2b\right)\left(4y+3+2b\right)=21\)

\(\Rightarrow y=2\) (thỏa mãn \(y+2=a^2\))

\(\Rightarrow xz=4\Rightarrow\left(x;z\right)=\left(1;4\right);\left(4;1\right);\left(2;2\right)\)

Vậy ta có các bộ \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;4\right);\left(4;2;1\right);\left(2;2;2\right)\)

Bạn gõ thừa số "1" thì phải ?

Đặt \(\frac{x+\sqrt{2017}y}{y+\sqrt{2017}z}=m\) (với \(m\in Q\)) 

\(\Rightarrow x+\sqrt{2017}y=my+mz\sqrt{2017}\)\(\Leftrightarrow\left(x-my\right)-\sqrt{2017}\left(y-mz\right)=0\)(*)

+) Nếu \(y-mz\ne0\) thì: \(\sqrt{2017}=\frac{-\left(x-my\right)}{y-mz}\) (1)

Ta có: \(x;y;z\in N;m\in Q\Rightarrow\frac{-\left(x-my\right)}{y-mz}\in Q\)             (2)

\(\sqrt{2017}\in I\) (Do 2017 không phải số chính phương)           (3)

Từ (1); (2) và (3) => Mâu thuẫn => \(y-mz\ne0\)(loại)

+) Nếu \(y-mz=0\) thì: Từ (*) =>   \(\hept{\begin{cases}x-my=0\\y-mz=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=my\\y=mz\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\\x=m^2z\\y=mz\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y^2=xz\\x=m^2z\\y=mz\end{cases}}\)

Đặt \(x^2+y^2+z^2=p\) (p nguyên tố) \(\Rightarrow\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=p\)

\(\Rightarrow\left(x+z\right)^2-y^2=p\)(Do y² = xz) \(\Leftrightarrow\left(x+z-y\right)\left(x+y+z\right)=p\)

Ta thấy x;y;z thuộc N^* => \(x+z-y\le x+y+z\)

Nên \(\hept{\begin{cases}x+z-y=1\left(4\right)\\x+y+z=p\end{cases}}\)(Vì p là số nguyên tố) 

Lại có: \(x^2+y^2+z^2=p\Rightarrow m^4z^2+m^2z^2+z^2=p\) (Do x = m²z; y = mz)

\(\Leftrightarrow z^2\left(m^4+m^2+1\right)=p\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=1\\m^4+m^2+1=p\end{cases}}\)(p nguyên tố)

Thay z=1 vào (4) ta có: \(x-y+1=1\Leftrightarrow x=y\)

\(m^4+m^2+1=p\Leftrightarrow\left(m^2+m+1\right)\left(m^2-m+1\right)=p\)

\(\Rightarrow m^2-m+1=1\Leftrightarrow m^2-m=0\Leftrightarrow m\left(m-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\\m=1\end{cases}}\)

+) Nếu m=0 thì: \(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}=0\Rightarrow x+y\sqrt{2017}=0\)(Do \(y+z\sqrt{2017}\ne0\))

Mà x;y thuộc N^* nên \(x+y\sqrt{2017}>0\)=> Loại.

+) Nếu m=1 thì \(x+y\sqrt{2017}=y+z\sqrt{2017}\Rightarrow y\sqrt{2017}=z\sqrt{2017}\)(x=y)

\(\Rightarrow y=z\Rightarrow x=y=z=1\) (Vì z=1) 

Khi đó: \(\hept{\begin{cases}\frac{x+\sqrt{2017}y}{y+\sqrt{2017}z}=1\\x^2+y^2+z^2=3\end{cases}}\) (thỏa mãn). Vậy x=y=z=1.

Vì là số hữu tỉ nên \(\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{a}{b}\left(a;b\inℕ^∗\right)\)

\(\Leftrightarrow bx+by\sqrt{2013}=ay+az\sqrt{2013}\)

\(\Leftrightarrow az\sqrt{2013}-by\sqrt{2013}=bx-ay\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2013}\left(az-by\right)=bx-ay\)

Vì VP là số hữu tỉ nên VT là số hữu tỉ

Mà \(\sqrt{2013}\)là số vô tỉ

Nên \(bx-ay=az-by=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bx=ay\\az=by\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\\\frac{y}{z}=\frac{a}{b}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\)

\(\Rightarrow xz=y^2\)

Ta có \(x^2+y^2+z^2=x^2+2xz+z^2-y^2=\left(x+z\right)^2-y^2=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)

Mà \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}}\)(Do \(x-y+z< x+y+z\))

Vì x ; y ; z nguyên dương nên \(x;y;z\ge1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\ge x\\y^2\ge y\\z^2\ge z\end{cases}}\)

                                                                    \(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge x+y+z\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1 (thỏa mãn)

Theo đề ra ta có: \(\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{m}{n}\left(m,n\in Z;\left(m,n\right)=1\right).\)

\(\Rightarrow nx+ny\sqrt{2013}=my+mz\sqrt{2013}\Leftrightarrow nx-my=\sqrt{2013}\left(mz-ny\right).\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}nx-my=0\\mz-ny=0\end{cases}}\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{m}{n}\Rightarrow xz=y^2\)(vì x,y,n,m đều là các số nguyên )

Khi đó: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=\left(x+z\right)^2-2y^2+y^2=\left(x+z\right)^2-y^2\)

                                      \(=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)

Dễ thấy  \(x+y+z\)là số nguyên lớn hơn 1 và \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên:

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=1\)

Thử lại ta thấy x=y=z=1 thỏa mãn .

giúp mình nhé