D thuộc trục Ox nên D(x;0)

\(DA=\sqrt{\left(-1-x\right)^2+\left(4-0\right)^2}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+16}\)

\(DB=\sqrt{\left(0-x\right)^2+\left(-2-0\right)^2}=\sqrt{x^2+4}\)

Để ΔDAB cân tại D thì DA=DB

=>\(\left(x+1\right)^2+16=x^2+4\)

=>\(x^2+2x+1+16=x^2+4\)

=>2x+17=4

=>2x=4-17=-13

=>\(x=-\dfrac{13}{2}\)

Vậy: \(D\left(-\dfrac{13}{2};0\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(6;-2\right)\Rightarrow AB=2\sqrt{10}\)

Gọi I là trung điểm AB \(\Rightarrow I\left(1;4\right)\)

ĐƯờng tròn (C) nhận I là tâm và có bán kính \(R=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{10}\)

Phương trình: \(\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=10\)

Gọi \(M\left(0;m\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(-1;m+2\right)\\\overrightarrow{AB}=\left(-5;7\right)\end{matrix}\right.\)

3 điểm M;A;B thẳng hàng khi:

\(\dfrac{-1}{-5}=\dfrac{m+2}{7}\Rightarrow m=-\dfrac{3}{5}\)

\(\Rightarrow M\left(0;-\dfrac{3}{5}\right)\)

Thử xem lại đề

Sửa đề: C(2;2)

\(\overrightarrow{AB}=\left(6;-10\right)\)

\(\overrightarrow{DC}=\left(-3;5\right)\)

Vì vecto AB=-2vecto DC

nên AB//DC

=>ABCD là hình thang

\(\overrightarrow{AM}=\left(m+5;2m\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(1;2\right)\)

Để A,M,B thẳng hàng thì \(\dfrac{m+5}{1}=\dfrac{2m}{2}\)

=>m+5=m(loại)

Thay tọa độ A và B vào d thấy kết quả cùng dấu \(\Rightarrow\) A và B nằm cùng phía so với d

Gọi C là điểm đối xứng A qua d \(\Rightarrow MA=CM\Rightarrow MA+MB=CM+MB\ge CB\)

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất khi M;B;C thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng BC và d

Phương trình d' qua A và vuông góc d có dạng:

\(1\left(x-1\right)+2\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x+2y-1=0\)

D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y-1=0\\2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(-1;1\right)\)

C đối xứng A qua d khi và chỉ khi D là trung điểm AC \(\Rightarrow C\left(-3;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}=\left(5;0\right)=5\left(1;0\right)\Rightarrow\) phương trình BC có dạng:

\(0\left(x-2\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow y-1=0\)

M là giao điểm d và BC nên tọa độ thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-\frac{3}{2};1\right)\)

CD nhận \(\left(3;-4\right)\) là 1 vtpt

Đường thẳng AD vuông góc CD nên nhận \(\left(4;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AD:

\(4\left(x+2\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow4x+3y+5=0\)