Ta có:

( x - 4 ) . f(x) = ( x - 5 ) . f(x + 2)

Xét x = 4

<=> ( 4 - 4 ) . f(x) = ( 4 - 5 ) . f(4 + 2)

<=> f(6) . f( -1 ) = 0

<=> f(6) = 0 ( 1 )

Xét x = 5

<=> ( 5 - 4 ) . f(5) = ( 5 - 5 ) . f( 5 + 2 )

<=> f(5) = f(7) . 0

<=> f(5) = 0 (2)

Từ (1) và (2) => đpcm.

Thay x = 1

(1 - 1) * f(x) = (1+2) * f(1-5)

0 = 3 * f(-4)

Vì 3 khác 0 nên f(-4) = 0 => x=-4 là nghiệm của f(x)

Thay x = -2

(-2-1) * f(-2) = (-2+2) * f(-2-5)

(-3) * f(-2) = 0 * f(-7)

(-3) * f(-2) = 0

mà -3 khác 0

nên f(-2) = 0 

vậy x = -2 là nghiệm của f(x)

Nên f(x) có ít nhất 2 nghiệm.

như thế nào vậy

Ta có nghiệm của đa thức là giá trị của biến làm đa thức có giá trị bằng 0. 
Nếu f(a) = 0 => a là nghiệm của f(x). 
Do: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) (1) đúng với mọi x. 
+ Thay x = 0 vào (1) ta được 
0.f(0 + 1) = (0 + 2).f(0) 
=> 0 = 2.f(0) 
=> f(0) = 0 
Do f(0) = 0 => x = 0 là 1 nghiệm của đa thức trên. (2) 

+ Thay x = -2 vào (1) ta được: 
(-2).f(-2 + 1) = (-2 + 2).f(-2) 
=> (-2).f(-1) = 0.f(-2) 
=> (-2).f(-1) = 0 
=> f(-1) = 0 
=> x = -1 là 1 nghiệm của đa thức trên (3) 
Từ (2) và (3) => đa thức đã cho có ít nhất 2 nghiệm là x = 0 và x = -2

thay x=0 ta có 0.f(-3)=2f(0)

                      ->2f(0)=0

                     ->f(0)=0 

               nên 0 là 1 nghiệm của f(x)

thay x=-2 ta có-2f(-5)=0.f(x)

                    ->   -2f(-5)=0

                   ->f(-5)=0

             nên -5 là 1 nghiệm của f(x)

   vậy f(x) có it nhất 2 nghiệm

f(4)*(4-4)=9*f(2)

=>f(4)*0=9*f(2)

=>f(2)=0

=>x=2 là nghiệm

f(-7)*0=(-9)*f(-9)

=>f(-9)=0

=>x=-9 là nghiệm

Khi x=4 thì 0*f(5)=9*f(4)

=>f(4)=0

=>x=4 là nghiệm

Khi x=-5 thì f(-5)*0=(-9)*f(-4)

=>f(-4)=0

=>x=-4 là nghiệm

1) \(\left(x^2-4x+3\right)f\left(x+1\right)=\left(x-2\right)f\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)f\left(x+1\right)=\left(x-2\right)f\left(x-1\right)\)

Với \(x=1\): \(0=-1f\left(0\right)\Leftrightarrow f\left(0\right)=0\)do đó \(0\)là một nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\).

Tương tự xét \(x=2,x=3\)có thêm hai nghiệm nữa là \(3\)và \(2\).

2) \(f\left(2\right)=4a-2+b=0\Leftrightarrow4a+b=2\)

Tổng hệ số cao nhất và hệ số tự do là \(a+b\)suy ra \(a+b=-7\).

Ta có hệ: 

\(\hept{\begin{cases}4a+b=2\\a+b=-7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a=9\\b=-7-a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\b=-10\end{cases}}\).