a/ Xét tg vuông ABC có 

BM=CM (gt) => AM=BM=CM=BC/2 (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

=> tg ABM cân tại M => \(\widehat{BAM}=\widehat{ABM}\) (góc ở đáy tg cân)

b/ Xét tg vuông AEF và tg vuông AFM có

\(\widehat{AEF}=\widehat{FAM}\) (cùng phụ với \(\widehat{AFE}\) ) (1)

Mà AM=CM (cmt) => tg MAC cân tại M => \(\widehat{FAM}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy th cân) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{AEF}\)

Xét tg MBE và tg MFC có

\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\) (cmt)

\(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\) (góc đối đỉnh)

=> tg MBE đồng dạng với tg MFC (g.g.g)

c/ Xét tg vuông ABC và tg vuông AFE có

\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\) (cmt)

=> tg ABC đông dạng với tg AFE

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AF}=\dfrac{AC}{AE}\Rightarrow AB.AE=AC.AF\)

d/

a: ΔABC vuông tại A

mà AM là trung tuyến

nên AM=MB=MC

=>góc MBA=góc MAB

b: góc AEF=90 độ-góc EAM=90 độ-góc B

=>gócAEF=góc ACB

c: Xét ΔAFE vuông tại A và ΔABC vuông tại A có

góc AEF=góc ACB

=>ΔAFE đồng dạng với ΔABC

=>AF/AB=AE/AC

=>AF*AC=AB*AE

Cm: a) Ta có: BA AC (gt)

                        HD // AB (gt)

=> HD AC => 

Ta lại có: AC AB (gt)

   HE // AC (gt)

=> HE AB => 

Xét tứ giác AEHD có: 

=> AEHD là HCN => AH = DE

b) Gọi O là giao điểm của AH và DE

Ta có: AEHD là HCN => OE = OH = OD = OA
=> t/giác OAD cân tại O =>  (1)

Xét t/giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

-> AM = BM = MC = 1/2 BC
=> t/giác AMC cân tại M => 

Ta có:  (phụ nhau)

   (phụ nhau)

=>  hay  (2) 
Từ (1) và (2) => 

Gọi I là giao điểm của MA và ED

Xét t/giác IAD có:  (tổng 3 góc của 1 t/giác)

=> 

hay 

=> (Đpcm)

c) (thiếu đề)

a) Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

mà \(BM=\dfrac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)

nên AM=BM

Xét ΔMBA có MA=MB(cmt)

nên ΔMBA cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)

\(\Leftrightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)(hai góc ở đáy)

\(\Leftrightarrow\widehat{MAB}=\widehat{HBA}\)(1)

Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH\(\perp\)BC tại H)

nên \(\widehat{HBA}+\widehat{HAB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)(2)

Ta có: \(\widehat{BAM}+\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\)(tia AB nằm giữa hai tia AM,AD)

hay \(\widehat{BAM}+\widehat{BAD}=90^0\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{BAH}=\widehat{BAD}\)

mà tia AB nằm giữa hai tia AH,AD

nên AB là tia phân giác của \(\widehat{DAH}\)(đpcm)

a) Ta có: ΔABH vuông tại H(AH⊥BC)

nên \(\widehat{HAB}+\widehat{ABH}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{HAB}+\widehat{ABM}=90^0\)(1)

Ta có: tia AB nằm giữa hai tia AD,AM(gt)

nên \(\widehat{DAB}+\widehat{MAB}=\widehat{MAD}\)

hay \(\widehat{DAB}+\widehat{MAB}=90^0\)(2)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(M là trung điểm của BC)

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(BM=\dfrac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)

nên AM=BM

Xét ΔABM có AM=BM(cmt)

nên ΔABM cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{MBA}=\widehat{MAB}\)(hai góc ở đáy)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{HAB}=\widehat{DAB}\)

mà tia AB nằm giữa hai tia AH,AD

nên AB là tia phân giác của \(\widehat{DAH}\)(đpcm)