Ta có : \(a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}\Leftrightarrow8a=4\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\sqrt{2}\Leftrightarrow8a+\sqrt{2}=4\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}\)

\(\Leftrightarrow\left(8a+\sqrt{2}\right)^2=16\left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right)\)  \(\Leftrightarrow64a^2+16\sqrt{2}a+2=16\left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right)\Leftrightarrow64a^2+16\sqrt{2}a+2=16\sqrt{2}+2\)

\(\Leftrightarrow4a^2+\sqrt{2}a=\sqrt{2}\Leftrightarrow4a^2=\sqrt{2}-\sqrt{2}a\)

Đặt \(Y=\sqrt{a^4+a+1}-a^2\) \(\Rightarrow XY=a+1\Leftrightarrow X.\left(-Y\right)=-\left(a+1\right)\) (1)

\(X+\left(-Y\right)=2a^2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}a}{2}=\frac{1-a}{\sqrt{2}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra X và Y là hai nghiệm của phương trình \(t^2+\frac{1-a}{\sqrt{2}}.t-\left(a+1\right)=0\)

Giải phương trình trên được \(t_1=-\sqrt{2}\)  ; \(t_2=-\frac{x+1}{\sqrt{2}}\) 

Suy ra : \(X=\sqrt{2}\) (vì X > 0)

nhân vế vs vế của 1 vs 2 à pn. nhưng t^2 ở đâu ra vậy

Ta co:

\(a^2=\frac{1}{4}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right)-\frac{\sqrt{2}}{8}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}+\frac{1}{32}\)

\(=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{8}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}+\frac{1}{16}\)

\(\Rightarrow\sqrt{8}a^2=1-\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}+\frac{\sqrt{8}}{16}\)

Ta lại co:

\(8a+\sqrt{2}=4\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}\)

\(\Leftrightarrow64a^2+16\sqrt{2}a+2=16\sqrt{2}+2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}a^2=1-a\)

\(\Leftrightarrow8a^4=a^2-2a+1\)

Từ đề bài co:

\(\sqrt{8}M=\sqrt{8}a^2+\sqrt{8a^4+8a+8}\)

\(=\sqrt{8}a^2+\sqrt{a^2-2a+1+8a+8}\)

\(=\sqrt{8}a^2+a+3\)

\(=1-\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}+\frac{\sqrt{8}}{16}+\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}+3\)

\(=4\)

\(\Rightarrow M=\sqrt{2}\) 

Ta có : 

\(a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}\Leftrightarrow8a=\sqrt{16\sqrt{2}+2}-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left(8a+\sqrt{2}\right)^2=16\sqrt{2}+2\)

\(\Leftrightarrow64a^2+16a\sqrt{2}+2=16\sqrt{2}+2\Leftrightarrow4a^2+a\sqrt{2}-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow4a^2=\sqrt{2}-a\sqrt{2}\)

Đặt \(P=\sqrt{a^4+a+1}-a^2\)

Ta có : \(S=\sqrt{a^4+a+1}+a^2\Rightarrow SP=a+1\Rightarrow S\left(-P\right)=-\left(a+1\right)\)

\(S-P=2a^2=\frac{\sqrt{2}-a\sqrt{2}}{2}=\frac{1-a}{\sqrt{2}}\)

Ta có thể xem S và (-P) là các nghiệm của phương trình : \(x^2-\frac{\left(1-a\right)}{\sqrt{2}}t-\left(a+1\right)=0\)

Giải phương trình trên ta có hai nghiệm : \(x_1=\sqrt{2}\)và \(x_2=-\frac{a+1}{\sqrt{2}}\)

Vậy \(S=\sqrt{2}\)( vì S > 0 )

CM: \(a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}\Rightarrow a+\frac{\sqrt{2}}{8}=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{\sqrt{2}}{8}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}\right)^2\)\(\Leftrightarrow a^2+\frac{a\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{32}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right)\Leftrightarrow a^2+\frac{2\sqrt{a}}{4}+\frac{1}{32}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{32}\)

\(\Leftrightarrow4a^2+\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0\)

Theo trên: \(4a^2+\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0\Rightarrow a^2=\frac{\sqrt{2}\left(1-a\right)}{4}\Rightarrow a^4=\frac{a^2-2a+1}{8}\)

\(\Rightarrow a^4+a+1=\frac{a^2-2a+1}{8}+a+1=\left(\frac{a+3}{2\sqrt{2}}\right)^2\)

\(B=a^2+\sqrt{a^4+a+1}=a^2+\frac{a+3}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}a^2+a+3}{2\sqrt{2}}\)\(=\frac{4a^2+\sqrt{2}a+3\sqrt{2}}{4}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}\)