\(\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|\Leftrightarrow OA=OB=OC\Leftrightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (1)

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow O\) là trọng tâm tam giác ABC (2)

(1); (2) \(\Rightarrow\) ABC là tam giác đều

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COA}=120^0\)

a,vì N là trung điểm AC nên 2BN=BA+BC ta có

MA+NB+PC=1/2BA+1/2BC+NB=1/2 (BA+BC)+NB=1/2×2×BN+NB=BN+NB=0 (TM đề bài )

b, vì M;N;P làtrung điểm AB;AC;BC

2OM+2ON+2OP=OA+OB+OA+OC+OB+OC

=2OA+2OB+2OC

suy ra OM+ON+OP=OA+OB+OC

c,

Cm tương tự

2OB=OB'+OC

2OA=OA'+OB

2OC=OA+OC'

suy ra

2OA+2OB+2OC=OA+OB+OC+OA'+OB'+OC'

suy ra OA+OB+OC=OA'+OB'+OC'

Bẹn tự vẽ hình nhé

Vì A' đối xứng với B qua A => AA' =AB

=. \(\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{AB}\)

Vì B' đối xứng với C qua B => \(\overrightarrow{B'B}=\overrightarrow{BC}\)

Vì C' đối xứng với A qua C => \(\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{CA}\)

Ta có: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\left(\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'A}\right)+\left(\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{B'B}\right)+\left(\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{C'C}\right)\)

\(=\left(\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}\right)+\left(\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{C'C}\right)\)

Lại có: \(\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)\(=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}=0\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}+0=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}\)

a: Kẻ OH\(\perp\)AB

OH\(\perp\)AB

AD\(\perp\)AB

Do đó OH//AD

Xét ΔBAD có

O là trung điểm của BD

OH//AD

Do đó: H là trung điểm của AB

=>\(OH=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{8}{2}=4\)

XétΔOAB có OH là trung tuyến

nên \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\cdot\overrightarrow{OH}\)

=>\(\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=2\cdot OH=2\cdot4=8\)

b: \(\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|\)

\(=BA=8\left(cm\right)\)