`a + b = |a| - |b|`

`a + b + |b| = |a|`

`@ a >=0 => a >=a`.

`<=> b <=0`.

`@ a < 0 => b + |b| = |a| - a`

`=> a = b`.

Bài cuối có Max nữa nhé, cần thì ib mình làm cho.

Giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\Rightarrow c\le1< 2\Rightarrow2-c>0\)

Ta có:\(P=ab+bc+ca-\frac{1}{2}abc=\frac{ab}{2}\left(2-c\right)+bc+ca\ge0\)

Đẳng thức xảy ra tại \(a=3;b=0;c=0\) và các hoán vị

3/ \(P=\Sigma\frac{\left(3-a-b\right)\left(a-b\right)^2}{3}+\frac{5}{2}abc\ge0\)

Chữ xấu vậy.

Hình như đề là \(\overline{\left(a+1\right)a\left(a+2\right)\left(a+3\right)}\)thì phải bn ak.

Ko mình  viết đúng đề đó bạn

a) ĐKXD: \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a\ne1\\a\ne4\end{matrix}\right.\)

b) Với \(a>0;a\ne1;a\ne4\), ta có:

\(B=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\\ =\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{a-1-a+4}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{3}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\)

c)\(B\le\dfrac{1}{3}\rightarrow\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\le\dfrac{1}{3}\rightarrow\dfrac{-2}{\sqrt{a}}\le0\) (đúng với mọi a thoả ĐKXĐ).

a, ĐKXĐ: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|>1^2\\\left|a\right|>0\\\left|a\right|>2^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a>4\)

b,

 \(B=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\\ B=\dfrac{\sqrt{a}-\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{\left[\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)-\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)\right]}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\\ B=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{\left(a-1\right)-\left(a-4\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\\ B=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{3}\\ B=\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\)

\(c,B\le\dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\le\dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow3\left(\sqrt{a}-2\right)\le3\sqrt{a}\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}-2\le\sqrt{a}\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{a}\le2\\ \Leftrightarrow0\le2\left(luôn.đúng\right)\)

Vậy: Với a>4 thì \(B\le\dfrac{1}{3}\)

TH1:Tích có chứa 1 thừa số nguyên âm:

Ta có:\(^{a^2-1>a^2-4>a^2-7>a^2-10}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-7>0\\a^2-10< 0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2>7\\a^2< 10\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^2=9\Rightarrow a=3\)

TH2: Tích có chứa 3 thừa số nguyên âm:

Ta có: \(a^2-1>a^2-4>a^2-7>a^2-10\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-1>0\\a^2-4< 0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2>1\\a^2< 4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)Không có giá trị nào của a trong TH2

Vậy a=3

\(\left(a^2-5\right)\left(a^2-10\right)\left(a^2-15\right)\left(a^2-20\right)< 0\)

Có 4 trường hợp .

1) a² - 5 < 0       Hoặc        2) a² - 10 < 0        Hoặc      3) a² - 15 < 0      Hoặc       4) a² - 20 < 0

=> a² < 5                         => a² < 10                         => a² < 15                        => a² < 20   

=> a < \(\sqrt{5}\)                => a < \(\sqrt{10}\)               => a < \(\sqrt{15}\)              => a < \(\sqrt{20}\)

Đặt \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1-a^2}=x\Rightarrow\sqrt{2}\le x\le2\)

\(x^2=2+2\sqrt{1-a^4}\Rightarrow\sqrt{1-a^4}=\dfrac{x^2-2}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2-2}{2}+\left(b+1\right)x+b-4\le0\)

\(\Rightarrow x^2+2\left(b+1\right)x+2b-10\le0\)

\(\Rightarrow x^2+2x-10\le-2b\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow-2b\ge\dfrac{x^2+2x-10}{x+1}\)

\(\Rightarrow-2b\ge\max\limits_{\left[\sqrt{2};2\right]}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+2x-10}{x+1}\)

Xét trên \(\left[\sqrt{2};2\right]\) ta có:

\(f\left(x\right)=\dfrac{3x^2+6x-30}{3\left(x+1\right)}=\dfrac{3x^2+8x-28-2\left(x+1\right)}{3\left(x+1\right)}=\dfrac{\left(3x+14\right)\left(x-2\right)}{3\left(x+1\right)}-\dfrac{2}{3}\le-\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow-2b\ge-\dfrac{2}{3}\Rightarrow b\le\dfrac{1}{3}\)

Vậy \(b_{max}=\dfrac{1}{3}\)

a.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|\)

\(=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\)

\(\Rightarrow T_{min}\) khi và chỉ khi \(MG_{min}\Rightarrow MG=0\) hay M trùng G

Theo công thức trọng tâm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{2-1+6}{3}=\dfrac{7}{3}\\y_M=\dfrac{3-1+0}{3}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)

b.

Tương tự câu a, ta có \(T=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\) đạt min  khi MG đạt min

\(\Rightarrow\) M là hình chiếu vuông góc của G lên Ox

Mà \(G\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{3};0\right)\)

c.

Do M thuộc Ox nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(2-m;3\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(-1-m;-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{u}=\left(3m+6;7\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\left(3m+6\right)^2+7^2}\ge\sqrt{0+7^2}=7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(3m+6=0\Rightarrow m=-2\)

\(\Rightarrow M\left(-2;0\right)\)

<3 em cảm ơn "giáo viên"!