Bài 1:a) Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\) với mọi số thực a,b,cb) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: \(A=5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}⋮59\)Bài 2:a) Cho ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện:\(4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz-6y-10z+34=0\)Tính giá trị của biểu thức \(T=\left(x-4\right)^{2014}+\left(y-4\right)^{2014}+\left(z-4\right)^{2014}\)b) Tìm các số nguyên x,y thỏa...
Đọc tiếp
Bài 1:
a) Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\) với mọi số thực a,b,c
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: \(A=5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}⋮59\)
Bài 2:
a) Cho ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện:
\(4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz-6y-10z+34=0\)
Tính giá trị của biểu thức \(T=\left(x-4\right)^{2014}+\left(y-4\right)^{2014}+\left(z-4\right)^{2014}\)
b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn \(3^x-y^3=1\)
Ta có (a + b + c)2 \(\ge0\forall a;b;c\inℝ\)
=> a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca \(\ge\)0
=> a2 + b2 + c2 \(\ge\)0 - (2ab + 2bc + 2ca)
=> a2 + b2 + c2 \(\le\)2ab + 2bc + 2ca
=> a2 + b2 + c2 \(\le\)2(ab + bc + ca)
Dấu "=" xảy ra <=> a + b + c = 0
Xí bài 2 ý a) trước :>
4x2 + 2y2 + 2z2 - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0
<=> ( 4x2 - 4xy + y2 - 4xz + 2yz + z2 ) + ( y2 - 6y + 9 ) + ( z2 - 10z + 25 ) = 0
<=> [ ( 4x2 - 4xy + y2 ) - 2( 2x - y )z + z2 ] + ( y - 3 )2 + ( z - 5 )2 = 0
<=> [ ( 2x - y )2 - 2( 2x - y )z + z2 ] + ( y - 3 )2 + ( z - 5 )2 = 0
<=> ( 2x - y - z )2 + ( y - 3 )2 + ( z - 5 )2 = 0
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(2x-y-z\right)^2\\\left(y-3\right)^2\\\left(z-5\right)^2\end{cases}}\ge0\forall x,y,z\Rightarrow\left(2x-y-z\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x-y-z=0\\y-3=0\\z-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\\z=5\end{cases}}\)
Thế vào T ta được :
\(T=\left(4-4\right)^{2014}+\left(3-4\right)^{2014}+\left(5-4\right)^{2014}\)
\(T=0+1+1=2\)