https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/

bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo

Vì x+y+z=6 và \(x^2+y^2+z^2=12\)

Ta có \(x^2+y^2+z^2-x+y+z=12-6\)

Rút gọn: \(x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)=6\)

=> \(x+y+z=x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)\)

Tìm x \(\Rightarrow x\left(x-1\right)=x\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2\)

Tìm y \(\Rightarrow y\left(y-1\right)=y\Rightarrow y-1=1\Rightarrow y=2\)

Tìm z \(\Rightarrow z\left(z-1\right)=z\Rightarrow z-1=1\Rightarrow z=2\)

Vậy \(x=y=z=2\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=12\\x+y+z=6\end{cases}}\)

Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=36\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=36\)

\(\Leftrightarrow12+2xy+2yz+2xz=36\)

\(\Leftrightarrow2xy+2yz+2xz=24\Leftrightarrow xy+yz+xz=12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz=12\)

Mặt khác ta có \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z\)

Vậy \(x=y=z=2\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}2020-y^2\ge0\\2020-z^2\ge0\\2020-x^2\ge0\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(x\sqrt{2020-y^2}+y\sqrt{2020-z^2}+z\sqrt{2020-x^2}=3030\)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{2020-y^2}+2y\sqrt{2020-z^2}+2z\sqrt{2020-x^2}=6060\)

\(\Leftrightarrow2020-y^2-2x\sqrt{2020-y^2}+x^2+2020-z^2-2y\sqrt{2020-z^2}+y^2+2020-x^2-2z\sqrt{2020-x^2}+z^2=0\)

   \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2020-y^2}-x\right)^2+\left(\sqrt{2020-z^2}-y\right)^2+\left(\sqrt{2020-x^2}-z\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2020-y^2}-x\right)^2=\left(\sqrt{2020-z^2}-y\right)^2=\left(\sqrt{2020-x^2}-z\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2020-y^2}=x\\\sqrt{2020-z^2}=y\\\sqrt{2020-x^2}=z\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020-y^2=x^2\\2020-z^2=y^2\\2020-x^2=z^2\end{matrix}\right.\)(vì \(x,y,z>0\))

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020=x^2+y^2\\2020=y^2+z^2\\2020=z^2+x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)=3.2020\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=3.1010=3030\)

\(\Rightarrow A=x^2+y^2+z^2=3030\)

Vậy \(A=3030\)

hay wa 😍

Áp dụng bđt bunhia cho 2 bộ số (1 ; 1 ; 1) và (x ; y ; z) ta có: 

(1 + 1 + 1).(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)² 

<=> 3(x² + y² + z²) ≥ 36 < do x+y+z=6 theo đề bài > 

<=> x² + y² + z² ≥ 12 => đpcm 

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2 

----------------------------- 

2) xy/z + yz/x + zx/y ≥ x + y + z với x,y,z là các số thực dương 

Áp dụng bđt cô si cho 2 số thực dương ta có: 

xy/z + yz/x ≥ 2y 
yz/x + zx/y ≥ 2z 
xy/z + zx/y ≥ 2x 

Cộng vế với vế 3bđt trên ta được : 

xy/z + yz/x + zx/y ≥ x + y + z => đpcm 

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z 

----------------------------------- 

3) x² + 5y² - 4xy + 2x - 6y +3 > 0 với mọi x , y 

<=> (x² - 4xy + 4y²) + (2x - 4y) + 1 + (y² -2y + 1) + 1 > 0 

<=> [(x - 2y)² + 2(x - 2y) + 1] + (y - 1)² + 1 > 0 

<=> (x - 2y + 1)² + (y - 1)² + 1 > 0 => luôn đúng với mọi x,y 

=> đpcm