Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)  ( x, y , z khác 0 )  (@)

<=> \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)

<=> \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)

<=> x + y = 0  (1) 

hoặc: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}=0\)(2)

(2) <=> \(zx+zy+z^2+xy=0\)

<=> \(z\left(x+z\right)+y\left(x+z\right)=0\)

<=> \(\left(x+z\right)\left(y+z\right)=0\)

<=> x + z = 0 hoặc y + z = 0 

<=> x = - z hoặc y = -z 

(1) <=> x = - y 

Vậy: (@) <=> x = - y hoặc y = -z hoặc z = - x

Vì vị trí của x, y, z có vai trò như nhau. G/S: x = - y

khi đó: \(\frac{1}{x^{2017}}+\frac{1}{y^{2017}}+\frac{1}{z^{2017}}=\frac{1}{\left(-y\right)^{2017}}+\frac{1}{y^{2017}}+\frac{1}{z^{2017}}=\frac{1}{z^{2017}}\)

và: \(\frac{1}{x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}}=\frac{1}{z^{2017}}\)

Do vậy: \(\frac{1}{x^{2017}}+\frac{1}{y^{2017}}+\frac{1}{z^{2017}}=\)\(\frac{1}{x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}}\)

Ta có:

\(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)=xyz\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=-y;y=-z;z=-x\)

Với \(x=-y\)

\(\Rightarrow x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}=z^{2017}=\left(x+y+z\right)^{2017}\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,ta có:

\(\frac{x}{y}=\frac{z}{t}\Leftrightarrow\frac{x}{z}=\frac{y}{t}=\frac{x-y}{z-t}.\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^{2017}}{z^{2017}}=\frac{y^{2017}}{t^{2017}}=\frac{\left(x-y\right)^{2017}}{\left(z-t\right)^{2017}}=\frac{x^{2017}+y^{2017}}{z^{2017}+t^{2017}}\left(đpcm\right).\)

cảm ơn nha!!! =^_^=

Đặt \(\frac{x}{2015}=\frac{y}{2016}=\frac{z}{2017}=k\)

\(\Rightarrow x=2015k;y=2016k;z=2017k\)

Ta có:

\(\left(x-z\right)^3=\left(2015k-2017k\right)^3=-8k^3\left(1\right)\)

Mặt khác:

\(-8\left(x-y\right)^2\left(z-y\right)=-8\left(2015k-2016k\right)^2\left(2017k-2016k\right)\)

\(=-8k^2\cdot k=-8k^3\left(2\right)\)

Từ ( 1 );( 2 ) suy ra đpcm