Ta có: \(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{1}{2}\)(gt)

nên MC=2MB

Ta có: MB+MC=BC(M nằm giữa B và C)

nên BC=2MB+MB=3MB

hay \(\dfrac{MB}{BC}=\dfrac{1}{3}\)

Xét ΔABC có

M∈BC(gt)

D∈AB(gt)

MD//AC(gt)

Do đó: ΔBMD\(\sim\)ΔBCA(Định lí tam giác đồng dạng)

⇒\(\dfrac{C_{BMD}}{C_{BCA}}=\dfrac{BM}{BC}\)(Tỉ số chu vi giữa hai tam giác đồng dạng)

\(\Leftrightarrow\dfrac{C_{BMD}}{24}=\dfrac{1}{3}\)

hay \(C_{DBM}=8\left(cm\right)\)

Ta có: \(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{1}{2}\)(gt)

nên \(MB=\dfrac{1}{2}MC\)

Ta có: MB+MC=BC(M nằm giữa B và C)

nên \(BC=\dfrac{1}{2}MC+MC=\dfrac{3}{2}MC\)

hay \(\dfrac{MC}{BC}=\dfrac{2}{3}\)

Xét ΔCBA có 

M∈BC(gt)

E∈CA(Gt)

ME//AB(gt)

Do đó: ΔCME∼ΔCBA(Định lí tam giác đồng dạng)

\(\Leftrightarrow\dfrac{C_{CME}}{C_{CBA}}=\dfrac{CM}{CB}\)(Tỉ số chu vi giữa hai tam giác đồng dạng)

⇔\(\dfrac{C_{CME}}{24}=\dfrac{2}{3}\)

hay \(C_{CME}=\dfrac{48}{3}=16\left(cm\right)\)

Vậy: \(C_{DBM}=8\left(cm\right)\); \(C_{CME}=16\left(cm\right)\)

Ta có: MD // AC nên ΔDBM ~ ΔABC. Suy ra

D B A B = B M B C = D M A C = D B + B M + D M A B + B C + C A

Do đó 1 3 = P B D M P A B C (1)

Ta có ME // AB nên ΔEMC ~ ΔABC. Suy ra

E M A B = M C B C = E C A C = E M + M C + E C A B + B C + A C

do đó 2 3 = P E M C P A B C (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

P B D M P A B C : P E M C P A B C = 1 3 : 2 3 ⇔ P B D M P E M C = 1 2

Đáp án: A

Bài làm 

a) xét tam giác AED và tam giác MDE có:

^ADE = ^DEM ( do AD // EM )

ED chung

^EDM = ^AED ( do AE // DM )

=> Tam giác AED = tam giác MDE ( g.c.g )

=> AD = ME

b) Gọi O là giao điểm của ED và AM

Nối AM

Xét tam giác AEM và tam giác MDA có:

^EAM = ^AMD ( so le trong vì EA // DM )

AM chung

^EMA = ^DAM ( so le trong vì EM // AD )

=> Tam giác AEM = tam giác MDA ( g.c.g )

=> AE = DM ( hai cạnh tương ứng )

Xét tam giác AEO và tam giác MDO có:

^AED = ^EDM ( so le trong vì AE // DM )

AE = DM ( chúng minh trên )

^EAM = ^AMD ( so le trong vì AE // DM )

=> Tam giác AEO = tam giác MDO ( g.c.g )

=> EO = OD

=> O là trung điểm ED.      (1)

Mà OA = OM ( do tam giác AOE = tam giác DOM )

=> O là trung điểm của AM.     (2)

Từ (1), (2) => O là trung điểm của ED và AM và là giao điểm của OE và AM

Mà I là trung điểm ED ( giả thiết )

=> Điểm O và I trùng nhau.

=> I là trung điểm của ED và AM, là giao điểm của AM và ED

=> 3 điểm A, I, M thẳng hàng

Gọi diện tích các hình tam giác ABC, MAB, MAC, MBC lần lượt là S, S 1 ,  S 2 ,  S 3 . Ta có:

S =  S 1  +  S 2  +  S 3

Trong đó: S = 1/2 AD.BC = 1/2 BE. AC = 1/2 CF. AB

S 1  = 1/2 MT. AB

S 2  = 1/2 MK. AC

S 3  = 1/2 MH. BC