a) Vì C M A = D M B = 60 o ⇒ C M B = D M A = 120 o .  Xét ∆ CMB và ∆ AMD có

C M = A M C M B = D M A ⇒ Δ C M B = Δ A M D ( c . g . c ) M B = M D ⇒ M C B = M A D M B C = M D A

Suy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

b) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nên

C P M = 180 o − C A M = 120 o = C M B ⇒ Δ C P M ~ Δ C M B ( g . g ) ⇒ C P C M = C M C B ⇒ C P . C B = C M 2 ⇒ C P . C B = C M .

Tương tự  D P . D A = D M

Vậy  C P . C B + D P . D A = C M + D M = A M + B M = A B

Bài giải:

1, Vì △AMD đều => AMD = DAM = MDA = 60^o và AM = MD = AD

Vì △MBC đều => MBC = BMC = BCM = 60^o  và MC = MB = BC

Xét △ABE có: ABE + AEB + EAB = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

=> 60^o + 60^o + AEB = 180^o 

=> AEB = 60^o 

Xét △ABE có: ABE = AEB = EAB = 60^o => △ABE đều

2, Ta có: DMB = DMC + CMB

CMA = DMC + DMA 

Mà CMB = DMA = 60^o 

=> DMB = CMA

Xét △AMC và △DMB

Có: AM = DM (cmt)

    CMA = DMB (cmt)

      MC = MB (cmt)

=> △AMC = △DMB (c.g.c)

Trên đoạn AC lấy H sao cho H là trung điểm của đoạn.

Lại có: E là trung điểm của AD nên EH là đường trung bình của tam giác ACD

Do đó CD = 2EH (1)

Gọi I là trung điểm của AM, K là trung điểm của AB

Ta có: EK là đường trung bình của tam giác ADB nên EK //DB

Suy ra góc EKI = 60⁰. Hoàn toàn tương tự: góc FKB = 60⁰

Do đó góc EKF = 60⁰

Tương tự ta có góc HIE = 60⁰

Xét hai tam giác HIE và FKE có:

     HI = FK (cùng bằng 1 nửa AC)

     góc HIE = góc EKE (=60⁰)

     EI = EK (cùng bằng 1 nửa DM)

Suy ra tam giác HIE = tam giác FKE (c.g.c)

Suy ra EF = EH (2)

Từ (1) và (2) suy ra EF = 1/2CD (đpcm)

Cách 1: *cách của Assassin_07*

Cách 2: Ta tạo ra đoạn thẳng bằng nửa CD, đó là PQ (P là trung điểm MC, Q là trung điểm MD). Để chứng minh EF=PQ, ta lấy K là trung điểm AB rồi chứng minh ∆EKF=∆QMP (c.g.c)

Không vẽ hình vì sợ duyệt nhé.

Tứ giác ADNM nội tiếp nên \(\widehat{ADM}=\widehat{ANM}\)

Tứ giác AMCD là hình vuông nên \(\widehat{ADM}=45^0\)

Từ đó \(\widehat{ANM}=45^0\)

Tứ giác BENM nội tiếp nên \(\widehat{ENM}+\widehat{EBN}=180^0\)\(\Rightarrow\widehat{ENM}=180^0-\widehat{EBM}\)

Tứ giác BMEF là hình vuông nên \(\widehat{EBM}=45^0\)

Từ đó \(\widehat{ENM}=180^0-45^0=135^0\)

Ta có \(\widehat{ANE}=\widehat{ANM}+\widehat{ENM}=45^0+135^0=180^0\)

Từ đó ta có A, N, E thẳng hàng.