Ta có: IA = ID = IE (chứng minh trên)

Suy ra A nằm trên đường tròn tâm I đường kính DE

Vì OO’ ⊥ IA tại A nên OO’ là tiếp tuyến của đường tròn (I; DE/2)

Tam giác AIO vuông tại A có AM ⊥ IO

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:  I A 2  = IM.IO     (1)

Tam giác AIO’ vuông tại A có AN ⊥ IO’

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: I A 2  = IN.IO’     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IM.IO = IN.IO’

Tam giác O’IO vuông tại I có IA ⊥ OO’

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

I A 2  = OA.O’A = 5.3,2 = 16

Suy ra: IA = 4 (cm). Mà DE = 2IA nên DE = 2.4 = 8 (cm)

a)     Xét (O): AI và DI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I (gt)

=> AI = DI (TC 2 tiếp tuyến cắt nhau)

CMTT: AI = EI  (TC 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> AI = EI = DI

Mà  DE = EI + DI

=>AI = EI = DI =\(\dfrac{DE}{2}\)

Xét tam giác ADE có: AI = EI = DI =\(\dfrac{DE}{2}\)(cmt)

=> Tam giác ADE vuông tại A (định lý đảo đường trung tuyến trong tam giác vuông)

=> ^MAN = 90^o

Xét tam giác AID: AI = DI (cmt) => Tam giác AID cân tại I 

Mà IM là đường phân giác AID (AI và DI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I)

=>  IM là đường cao

=> ^IMA = 90^o

CMTT: ^ANI = 90^o

Xét TG AMIN:

 ^IMA = 90^o (cmt)

^ANI = 90^o (cmt)

^MAN = 90^o (cmt)

=> AMIN là hình chữ nhật (dhnb)

b) Xét tam giác OAI vuông tại A, AM là đường cao ( do AM vg góc OI)

=> IM.IO = IA² (HTL) (1)

Xét tam giác O'AI vuông tại A, AN là đường cao ( do AN vg góc O'I)

=> IN.IO' = IA² (HTL) (2)

Từ (1) và (2) => IM.IO = IN.IO’ (đpcm)

c) Xét (O) và (O'): 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A (cmt)

=> A \(\in\)OO' (TC đường nối tâm)

mà IA vg góc AO (do AI là tiếp tuyến trong của 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A )

=> OO' vg góc AI tại A  (*)

Xét tam giác ADE vuông tại A (^DAE = 90^o do AMIN là hcn)

I là TĐ của DE (do ID = IE = \(\dfrac{DE}{2}\))

=> I là tâm đường tròn đường kính DE, nội tiếp tam giác ADE  

=> A \(\in\)(I) (**)

Từ (*) và (**) => OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE có A là tiếp điểm.

d) Xét tg OIO' vuông tại I, AI là đường cao:

AI² = AO . AO' (HTL)

=> AI²= R. R'

Mà AI = \(\dfrac{DE}{2}\)(cmt)

=> (\(\dfrac{DE}{2}\))² = R . R'

<=> \(\dfrac{DE^2}{4}\) = R . R'

<=> DE = 2\(\sqrt{R.R'}\)

Có vẽ hình ko bạn

a: Xét (O) có

ID,IA là các tiếp tuyến

Do đó: IO là phân giác của góc DIA

=>\(\widehat{DIA}=2\cdot\widehat{OIA}\)

Xét (O') có

IA,IE là các tiếp tuyến

Do đó: IO' là phân giác của góc AIE

=>\(\widehat{AIE}=2\cdot\widehat{AIO'}\)

Ta có: \(\widehat{DIA}+\widehat{EIA}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\left(\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{OIO'}=180^0\)

=>\(\widehat{OIO'}=90^0\)

b: Xét (O) có

ID,IA là các tiếp tuyến

Do đó: ID=IA

Xét (O') có

IA,IE là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IE

Ta có: IA=IE

ID=IA

Do đó: ID=IE

=>I là trung điểm của DE

=>I là tâm đường tròn đường kính DE

Xét ΔDAE có

AI là bán kính

\(AI=\dfrac{DE}{2}\)

Do đó: ΔADE vuông tại A

=>A nằm trên (I)

Xét (I) có

IA là bán kính

O'O\(\perp\)IA tại A

Do đó: OO' là tiếp tuyến của (I)

=>O'O là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE

Tứ giác ADME là hình chữ nhật và ID = IE (chứng minh trên) nên đường chéo AM của hình chữ nhật phải đi qua trung điểm I của DE. Suy ra: A, I, M thẳng hàng.

Ta có: IA ⊥ OO’ (vì IA là tiếp tuyến của (O))

Suy ra: AM ⊥ OO’

Vậy MA là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O’)