Biết rằng các số thực a, b thay đổi sao cho hàm số
f
x
=
−
x
3
+
x
+
a
3
+
x
+
b
3
luôn đồng biến trên khoảng
−
∞
;
+
∞
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
=
a
2
+
b
2
−
4
a
−
4
b
+
2.
A.
−
4
B.
−
2
C.
0
...
Đọc tiếp
Biết rằng các số thực a, b thay đổi sao cho hàm số f x = − x 3 + x + a 3 + x + b 3 luôn đồng biến trên khoảng − ∞ ; + ∞ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 + b 2 − 4 a − 4 b + 2.
A. − 4
B. − 2
C. 0
D. 2
Đáp án B
Ta có: f ' x = − 3 x 2 + 3 x + a 2 + 3 x + b 2 = 3 x 2 + 6 a + b x + 3 a 2 + 3 b 2
Để hàm số đồng biến trên − ∞ ; + ∞ thì f ' x ≥ 0 ∀ x ∈ − ∞ ; + ∞
⇔ 3 x 2 + 6 a + b x + 3 a 2 + 3 b 2 ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ ⇔ x 2 + 2 a + b x + a 2 + b 2 ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ ⇔ Δ ' = a + b 2 − a 2 + b 2 ≤ 0 ⇔ 2 a b ≤ 0 ⇔ a b ≤ 0
TH1: b = 0 ⇒ P = a 2 − 4 a + 2 = a − 2 2 − 2 ≥ − 2 1
TH2: a > 0 , b < 0 ⇒ P = a − 2 2 + b 2 + − 4 b − 2 > − 2 2
Từ (1) và (2) ⇒ P min = − 2 k h i a = 0 hoặc b = 0.