Sử dụng đồng dư thức em nhé.

S = 1²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁸ + 3²⁰⁰⁸ + 4²⁰⁰⁸

S = 1 + (2⁵)⁴⁰¹.2³ + (3⁵)⁴⁰¹.3³ + (4⁵)⁴⁰¹.4³

S = 1 + 32⁴⁰¹. 8 + 243⁴⁰¹. 27 + 1024⁴⁰¹. 64

32 \(\equiv\) -1 (mod 11) ⇒32⁴⁰¹.8 \(\equiv\) -8 (mod 11) (1)

243 \(\equiv\) 1 (mod 11); 27 \(\equiv\) 5 (mod 11)  \(\Rightarrow\) 243⁴⁰¹.27 \(\equiv\) 5 (mod 11) (2)

1024 \(\equiv\) 1 (mod 11); 64 \(\equiv\) 9 (mod 11) \(\Rightarrow\) 1024⁴⁰¹.64 \(\equiv\) 9 (mod 11) (3)

Kết hợp (1); (2); (3) ta có:

S \(\equiv\) 1 - 8 + 5 + 9 (mod 11)

S \(\equiv\) 7 (mod 11)

Vậy S khi chia 11 dư 7

ta thấy 7⁸ ​chia 64 dư 1

nên 7²⁰⁰⁸ chia 64 dư 1

9⁸​chia 64 dư 1

nên 9²⁰⁰⁸ chia 64 dư 1

=> 7²⁰⁰⁸+9²⁰⁰⁸ chia 64 =( 1+1 ) chia 64 

=> dư 2

a) Ta có: \(3^{2021}=3^{2019}\cdot3^2=\left(3^3\right)^{673}\cdot3^2\equiv1.3^2=9\left(mod13\right)\)

Vậy số dư của \(3^{2021}\) cho 13 là 9.

b) \(2008^{2008}=\left(2008^2\right)^{1004}\equiv1^{1004}=1\) (mod 7)

Vậy số dư của $2008^{2008}$ cho $7$ là $1.$

P/s: Rất lâu rồi mình không giải toán đồng dư nên không chắc bạn nhé.

Có 2010^4 đồng dư với 0 ( mod 2008)

=> (2010^4)^502 đồng dư với 0^502 = 0 ( mod 2008)

=> (2010^4)^502. 2010 đồng dư với 0^502. 2010= 0 (mod 2008)

=>2010^2009 chia cho 2008 dư 0

Ta có: 10^2008+5=1000...0+5=1000...05(2007 CS 0)

tổng các chữ số của 100..05 là: 1+0+0+0+0+...+0+5=6 chia 9 dư 6

=> 1000...05(2007 CS 0) chia 9 dư 6

=> 10^2008+5 chia 9 dư 6

Vì 10²⁰⁰⁸ = 100...0( 2008 chữ số 0 ) + 5 = 100...05( 2007 chữ số 0 )

Ta có: Số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số chia hết cho 9 

Ta lại có: 1 + 0 + 0 + ... + 0 + 5( 2007 chữ số 0 ) = 6 chia 9 dư 6

\(\Rightarrow\) 100...0²⁰⁰⁸ + 5 : 9 dư 6