x¹ + x² + x³ +.....+ x²⁰¹¹ = 0

=> (x¹ + x²) + (x³ + x⁴) +....+(x²⁰⁰⁹ + x²⁰¹⁰) + x²⁰¹¹ = 0

=> 2 + 2 + 2 +.....+ 2 + x²⁰¹¹ = 0

=> 1005 . 2 + x²⁰¹¹ = 0

=> 2010 + x²⁰¹¹ = 0

=> x²⁰¹¹ = -2010

=> Không có giá trị nào của x thỏa mãn đề bài

x¹ + x² + x³ +.....+ x²⁰¹¹

= (x¹ + x²) + (x³ + x⁴) +....+ ( x²⁰⁰⁹ + x²⁰¹⁰) + x²⁰¹¹

= 2 + 2 + 2+.....+ 2 + x²⁰¹¹

= 1005 . 2 + x²⁰¹¹

=2010 + x²⁰¹¹ = 0

=> x²⁰¹¹ = -2010

=> Không có giá trị của x thỏa mãn đề bài

-4020 nha                                            

Ta có \(x_1+x_2+x_3+...+x_{2010}+x_{2011}=0\)

Mà \(x_1+x_2=x_3+x_4=...=x_{2009}+x_{2010}=2\)

Thế vào ta có 

\(2+2+2+2+...+2+x_{2011}=0\)

Ta có số số hạng là

\(2010-1+1=2010\)(số hạng)

Mà 1 cặp gồm 2 số hạng nên có số cặp là

\(\frac{2010}{2}=1005\)(cặp)

Vì mỗi cặp có tổng là 2 nên

 ta có

\(1005\cdot2+x_{2011}=0\)

Suy ra \(2010+x_{2011}=0\)

Suy ra \(x_{2011}=0-2010=-2010\)

Vậy \(x_{2011}=-2010\)

tử số K ta thấy: số 1 xuất hiện trong tất cả các tổng con nên số 1 xuất hiện 2012 lần. số 2 xuất hiện trong 2011 tổng con nên số 2 xuất hiện 2011 lần... tưởng tự số 2012 sẽ xuất hiện 1 lần

=> tử số của K= 1.2012+2.2011+3.2010+4.2009+...+2012.1

K= 1.2012+2.2011+3.2010+4.2009+...+2012.1/2012.1+2011.2+2010.3+....+2011.2+1.2012

K=1

Cho K = 1 + ( 1 + 2 ) + ( 1 + 2 + 3 ) + .... + ( 1 + 2 + 3 + .... + 2012 ) / 2012 x 1 + 2011 x 2 + 2010 x 3 + .. + 2 x 2011 + 1 x 2012 . 

Tính K .

\(x= \dfrac{2011^3-1}{2011^2+2012} = \dfrac{(2011-1)(2011^2+2011+1)}{2011^2 + 2011 + 1} = 2010\)

\(y = \dfrac{2012^3+1}{2012^2-2011} = \dfrac{(2012+1)(2012^2-2012+1)}{2012^2-2012 + 1} = 2013\)

Suy ra:

 x + y = 2010 + 2013 = 4023