a.

\(\dfrac{x^3}{x-1}-\dfrac{x^2}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x^3-1}{x-1}-\dfrac{x^2-1}{x+1}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x-1}-\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x+1}\)

\(=x^2+x+1-\left(x-1\right)=x^2+2\)

b.

\(\dfrac{x+y}{2\left(x-y\right)}-\dfrac{x-y}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}\)

\(=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2\left(x-y\right)\left(x+y\right)}-\dfrac{\left(x-y\right)^2}{2\left(x-y\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{4y^2}{2\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2+4y^2}{2\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)

\(=\dfrac{4xy+4y^2}{2\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=\dfrac{4y\left(x+y\right)}{2\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)

\(=\dfrac{2y}{x-y}\)

c.

\(\dfrac{x+5}{2x-4}.\dfrac{4-2x}{x+2}=\dfrac{x+5}{2x-4}.\dfrac{-\left(2x-4\right)}{x+2}=-\dfrac{x+5}{x+2}\)

d.

\(\dfrac{8}{x^2+2x-3}+\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{8}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{x+3}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{8+2\left(x-1\right)+x+3}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{3x+9}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{3\left(x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{3}{x-1}\)

a) 

\(=x^2+2.1,5x+1.5^2+0,75\)

\(=\left(x+1.5\right)^2+0,75\)

Vì (x+1.5)^2 luôn dương và 0,75 dương nên biểu thức luôn dương

b) 

\(=x^2+2x+1+y^2-4y+4+1\)

\(=\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+1\)

Lập luận tương tự câu a), được biểu thức luôn dương

c)

\(=x^2+2xy+y^2+x^2-2x+1+1\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+1\)

Lập luận tương tự

\(a)x^2-2x+y^2+4y+6\\=(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)+1\\=(x^2-2\cdot x\cdot1+1^2)+(y^2+2\cdot y\cdot2+2^2)+1\\=(x-1)^2+(y+2)^2+1\)

Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\\\left(y+2\right)^2\ge0\forall y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+1\ge1>0\forall x,y\)

hay giá trị của biểu thức trên luôn dương

\(b)x^2-2x+2\\=(x^2-2x+1)+1\\=(x^2-2\cdot x\cdot1+1^2)+1\\=(x-1)^2+1\)

Ta thấy: \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+1\ge1>0\forall x\)

hay giá trị của biểu thức trên luôn dương

B = \(x^2\) - 2\(xy\) + 2y\(^2\) + 2\(x\) - 10y + 17

B = (\(x^2\) - 2\(xy\) + y²) + 2(\(x-y\)) + 1 + (y² - 8y + 16)

B = (\(x-y\))² + 2(\(x-y\)) + 1 + (y - 4)²

B = (\(x-y\) + 1)² + (y - 4)²

(\(x-y+1\))² ≥ 0 ∀ \(x;y\); (y - 4)² ≥ 0 

B ≥ 0

Kết luận biểu thức không âm. Chứ không phải là biểu thức luôn dương em nhé. Vì dương thì biểu thức phải > 0 ∀ \(x;y\). Mà số 0 không phải là số dương. 

Giải giúp mik với mik cần gấp

\(a,VP=\dfrac{x^2+4x+3}{x^2+6x+9}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)^2}=\dfrac{x+1}{x+3}=VT\)

Vậy ta có đpcm 

b, \(VP=\dfrac{3x\left(x+y\right)^2}{9x^2\left(x+y\right)}=\dfrac{x+y}{3x}=VT\)

Vậy ta có đpcm 

a) Ta có: \(\dfrac{x^2+4x+3}{x^2+6x+9}\)

\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{x+1}{x+3}\)

b: Ta có: \(\dfrac{3x\left(x+y\right)^2}{9x^2\left(x+y\right)}\)

\(=\dfrac{3x\left(x+y\right)\left(x+y\right)}{3x\cdot3x\cdot\left(x+y\right)}\)

\(=\dfrac{x+y}{3x}\)

\(A\left(x,y\right)=x^2-2xy+y^2+4x^2-4xy+3\)

\(A\left(x,y\right)=5x^2-6xy+y^2+3\)

\(A\left(x,y\right)=2x^2+3x^2-6xy+y^2+3\)

\(A\left(x,y\right)=2x^2+\left(3x-y\right)^2+3\)

Ta thấy: \(2x^2\ge0\forall x\)

             \(\left(3x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow2x^2+\left(3x-y\right)^2+3\ge0\forall x,y\)

KL: Vậy biểu thức A luôn nhận giá trị dương.

\(B\left(x\right)=3x^2-5x+6\)

\(B\left(x\right)=3x^2-5x+\frac{5}{6}+\frac{31}{6}\)

\(B\left(x\right)=3x^2-5x+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\frac{5}{36}+\frac{31}{6}\)

\(B\left(x\right)=\left(3x-\frac{5}{6}\right)^2+\frac{5}{36}+\frac{31}{6}\)

Ta thấy: \(\left(3x-\frac{5}{6}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(3x-\frac{5}{6}\right)^2+\frac{5}{36}+\frac{31}{6}\ge0\forall x\)

vậy biểu thức B luôn nhận giá trị dương.