a, Xét tứ giác AMHN có : ^AMH = ^MAN = ^ANH = 90⁰

Vậy tứ giác AMHN là hình chữ nhật 

b, Ta có : \(AH^2=AM.AB\)( hệ thức lượng ) (1)

\(AH^2=AN.AC\)( hệ thức lượng ) (2) 

Từ (1) ; (2) suy ra : \(AM.AB=AN.AC\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét tam giác AMN và tam giác ACB ta có : 

^A _ chung 

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)( cmt )

Vậy tam giác AMN ~ tam giác ACB ( c.g.c ) 

\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}\)(3) 

Theo định lí Pytago tam giác ABC vuông tại A 

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{36+64}=10\)cm 

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

* Áp dụng hệ thức : \(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}\)cm 

Lại có : \(AH^2=AM.AB\)( cmt ) \(\Rightarrow AM=\frac{AH^2}{AB}=\frac{96}{25}\)cm 

\(\left(3\right)\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow MN=\frac{AM.BC}{AC}=\frac{24}{5}\)cm 

c, Vì E là trung điểm BH mà tam giác BMH vuông tại M

=> ME là đường trung tuyến 

=> \(ME=\frac{1}{2}BH\)(4) 

Vì F là trung điểm HC mà tam giác HNC vuông tại N 

=> NF là đường trung tuyến 

=> \(NF=\frac{1}{2}HC\)(5) 

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}\)cm (6) 

=> \(HC=BC-HB=10-\frac{18}{5}=\frac{32}{5}\)cm (7)

Thay (6) vào (4) ta được : \(ME=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}.\frac{18}{5}=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}\)cm 

Thay (7) vào (5) ta được : \(NF=\frac{1}{2}HC=\frac{1}{2}.\frac{32}{5}=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\)cm 

d, mình chưa tìm ra dữ kiện 

a: Xét ΔCAB có CF/CA=CE/CB

nên FE//AB và FE=AB/2

=>FE//AD và FE=AD

Xét tứ giác AFED có

FE//AD

FE=AD

góc FAD=90 độ

Do đó: AFED là hình chữ nhật

Xét tứ giác AECK có

F là trung điểm chung của AC và EK

EA=EC

Do đó: AECK là hình thoi

b: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot5=10\left(cm^2\right)\)

a: Xét ΔCAB có CF/CA=CE/CB

nên FE//AB và FE=AB/2

=>FE//AD và FE=AD

Xét tứ giác AFED có

FE//AD

FE=AD

góc FAD=90 độ

Do đó: AFED là hình chữ nhật

Xét tứ giác AECK có

F là trung điểm chung của AC và EK

EA=EC

Do đó: AECK là hình thoi

b: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot5=10\left(cm^2\right)\)

a)Xét tứ giác AMDN có: góc AMD=90⁰

góc MAN=90⁰

góc DNA=90⁰

=> Tứ giác AMDN là hình chữ nhật(dhnb hcn)

b)Xét tam giác ABC vuông tại A có:D là trung điểm của BC

=>AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

=>AD=BD=CD=BC/2

=> tg ACD cân tại D

Xét tg ACD cân tại D có: DN là đường cao

=>DN là đường trung tuyến của tam giác ADC

=>N là trung điểm của AC

a) Xét ΔABC có 

F là trung điểm của AC(gt)

M là trung điểm của BC(gt)

Do đó: FM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒FM//AB và \(FM=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà E∈AB và \(AE=\dfrac{AB}{2}\)(E là trung điểm của AB)

nên FM//AE và FM=AE

Xét tứ giác AEMF có 

FM//AE(cmt)

FM=AE(cmt)

Do đó: AEMF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AEMF có \(\widehat{FAE}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

nên AEMF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b: Sửa đề: HEDF là hình thang cân

Xét ΔABC có 

F là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: FD là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: FD//BC

hay FD//HE

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

nên \(HD=\dfrac{AC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔABC có 
F là trung điểm của AB

E là trung điểm của BC

Do đó: FE là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: \(FE=\dfrac{AC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra FE=HD

Xét tứ giác FDEH có FD//HE

nên FDEH là hình thang

mà FE=HD

nên FDEH là hình thang cân