Xét số thực a,b thỏa mãn b>1 và
a
≤
b
<
a
. Biểu thức
P
=
log
a
b
a
+
2
log
b
a
b
đạt giá trị nhỏ nhất khi A.
a
=
b
2
.
B.
a
2
=
b
3
.
C.
a
3
=
b
2
.
D.
a
2
=
b
.
...
Đọc tiếp
Xét số thực a,b thỏa mãn b>1 và a ≤ b < a . Biểu thức P = log a b a + 2 log b a b đạt giá trị nhỏ nhất khi
A. a = b 2 .
B. a 2 = b 3 .
C. a 3 = b 2 .
D. a 2 = b .
Đáp án A
Ta có log a b b = log a b a . b a = log a b a − 1 .
Do đó
P = 2 2 log a b a − log a b a − 1 2 + 27 log a b a = 2 log a b a + 1 2 + 27 log a b a .
Đặt t = log a b a . Do 1 < a ≤ b 2 ⇒ a ≤ b .
Suy ra
1 t = 1 log a b a = log a a b = 1 − log a b ≤ 1 − log a a = 1 − 1 2 = 1 2 ⇒ t ≥ 2
Khi đó P = 2 t + 1 2 + 27 t = f t .
Khảo sát f t trên 2 ; + ∞ , ta được f t đạt giá trị nhỏ nhất bằng 63 2 khi t=2.
Với t = 2 ⇒ log a b a = 2 ⇔ a = b 2 .