Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(3;-2;6),B(0;1;0) và mặt cầu (S):
(
x
-
1
)
2
+
(
y
-
2
)
2
+
(
z
-
3
)
2
=
25
. Mặt phẳng (P): ax+by+cz-2=0 đi qua A và B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T=a+b+c A. T=3 B. T=5 C. T=2 D....
Đọc tiếp
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(3;-2;6),B(0;1;0) và mặt cầu (S): ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 25 . Mặt phẳng (P): ax+by+cz-2=0 đi qua A và B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T=a+b+c
A. T=3
B. T=5
C. T=2
D. T=4
Đáp án A
Vì mặt phẳng (P) đi qua A, B nên
3 a - 2 b + 6 c - 2 = 0 b = 2 ⇔ a = 2 - 2 c b = 2 ⇒ ( P ) : ( 2 - 2 c ) x + 2 y + c z = 0
Khoảng cách từ tâm I (1;2;3) của (S) đến (P) là:
d(I,(P))= ( 2 - 2 c ) + 2 . 2 + c . 3 - 2 ( 2 - 2 c ) 2 + 2 2 + c 2 = c + 4 5 c 2 - 8 c + 8
Khi đó bán kính của đường tròn giao tuyến là:
r= 25 - ( c + 4 ) 2 5 c 2 - 8 c + 8 = 124 c 2 - 208 c + 184 5 c 2 - 8 c + 8
Để r đạt giá trị nhỏ nhất thì hàm số
f(t)= 124 t 2 - 208 t + 184 5 t 2 - 8 t + 8 trên [1;+ ∞ ) phải nhỏ nhất
Ta có: f'(t)= 48 t 2 + 144 t - 192 ( 5 t 2 - 8 t + 8 ) 2 ,
f'(t)=0 ⇔
Khi đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t=1 ⇒ c=1
Ta có: T=a+b+c=2-2c+2=4-c=3