Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$

$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$

Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$

Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$

$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu

$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại 

$BO=\sqrt{2}AO$

$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$

$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$

$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$

.

Chọn C

Đáp án là  B.

• Ta có y , = 3 x 2 - 1  ; Thực hiện phép chia y cho  y , ta được:   y = 1 3 x ( 3 x 2 - 1 ) - 2 3 x + m

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại,cực tiểu là  y = - 2 3 x + m

• Thay M(3;-1)  M ( 3 ; - 1 )   ⇒ - 1 = - 2 3 3 + m ⇒ - 1 = - 2 + m ⇒ m = 1

Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

                           \(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)

=> Các điểm cực trị là :

\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Chọn A

Ta có  y ' = 3 x 2 - 6 m x + 3 ( m 2 - 1 ) .

Hàm số có hai cực trị => y' = 0 có hai nghiệm phân biệt <=> Δ' > 0 <=> ( 3 m ) 2 - 3 . 3 ( m 2 - 1 ) > 0 <=> 9 > 0 đúng với mọi m. Ta có điểm cực đại là B(m - 1; -2m + 2) và cực tiểu là C(m + 1; -2m - 2)

Chọn C

Ta có  y ' = 3 x 2 - 6 m x + 3 ( m 2 - 1 )

Hàm số (1) có cực trị thì PT y ' = 0  có 2 nghiệm phân biệt

⇔ x 2 - 2 m x + m 2 - 1 = 0  có 2 nhiệm phân biệt

Khi đó, điểm cực đại A ( m - 1 ; 2 - 2 m ) và điểm cực tiểu  B ( m + 1 ; - 2 m )

Ta có  O A = 2 O B ⇔ m 2 + 6 m + 1 = 0