Xét ΔABD có AE/AB=AH/AD

nên EH//BD và EH=BD/2

Xet ΔCBD có CF/CB=CG/CD

nên FG//BD và FG=BD/2

=>EH//FG và EH=FG

Xét ΔBAC có BE/BA=BF/BC

nên EF//AC

=>EF vuông góc BD

=>EF vuông góc EH

=>EFGH là hình chữ nhật

=>E,F,G,H cùng thuộc 1 đường tròn

=>Bán kính là R=EG/2 

a) Xét ΔABC có

E là trung điểm của AB(gt)

F là trung điểm của BC(gt)

Do đó: EF là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒EF//AC và \(EF=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔADC có

H là trung điểm của AD(gt)

G là trung điểm của CD(gt)

Do đó: HG là đường trung bình của ΔADC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒HG//AC và \(HG=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra HG//EF và HG=EF

Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB(gt)

H là trung điểm của AD(gt)

Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒EH//BD và \(EH=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: EH//BD(cmt)

BD⊥AC(gt)

Do đó: EH⊥AC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Ta có: HG//AC(cmt)

EH⊥AC(Cmt)

Do đó: HG⊥HE(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

hay \(\widehat{EHG}=90^0\)

Xét tứ giác EHGF có 

HG//EF(cmt)

HG=FE(cmt)

Do đó: EHGF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành EHGF có \(\widehat{EHG}=90^0\)(cmt)

nên EHGF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: EFGH là hình chữ nhật(cmt)

nên \(S_{EFGH}=EF\cdot EH\)

\(\Leftrightarrow S_{EFGH}=\dfrac{AC}{2}\cdot\dfrac{BD}{2}=\dfrac{10}{2}\cdot\dfrac{8}{2}=5\cdot4=20cm^2\)

Vậy: Diện tích tứ giác EFGH khi AC=10cm và BD=8cm là 20cm²

c) Hình chữ nhật EFGH trở thành hình vuông khi EH=HG

hay AC=BD

Vậy: Khi tứ giác ABCD có thêm điều kiện AC=BD thì EFGH trở thành hình vuông

Do ABCD là hình thoi \(\Rightarrow\Delta BCD\) cân tại C

Mà \(C=60^0\Rightarrow\Delta BCD\) đều

Hoàn toàn tương tự, ta có tam giác ABD đều

\(\Rightarrow AB=BC=CD=DA=BD\) (1)

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo \(\Rightarrow OA\perp OB\)

Trong tam giác vuông OAB, do E là trung điểm AB nên OE là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow OE=\dfrac{1}{2}AB\) (2)

Mà O là trung điểm BD (tính chất hình thoi) \(\Rightarrow OB=\dfrac{1}{2}BD\) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow OE=OB\)

Hoàn toàn tương tự, ta có: 

\(OE=OB=OF=OG=OD=OH\)

\(\Rightarrow\) Các điểm E, B, F, G, D, H cùng thuộc 1 đường tròn tâm O bán kính OB

Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Giải thích: Theo giả thiết ta có EF, GH lần lượt là đường trung bình của tam giác Δ ABC,Δ ADC

Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác ta được

Chứng minh tương tự: EH//FG//BD      ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ), tứ giác EFGH có hai cặp cạnh đối song song nên tứ giác EFGH là hình bình hành.

Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của EF với BD.

Áp dụng tính chất của các góc đồng vị vào các đường thẳng song song ở trên và giả thiết nên ta có:

Hình bình hành EFGH có một góc vuông nên EFGH là hình chữ nhật. 

Xét ΔABD có AB=AD và góc BAD=60 độ

nên ΔABD đều

Ta có: ΔDAB cân tại D

mà DE là đường trung tuyến

nên DE vuông góc với BE

=>E nằm trên đường tròn đường kính BD(1)

Ta có:ΔBAD cân tại B

ma BH là đường trung tuyến

nên BH vuông góc với HD

=>H nằm trên đường tròn đường kính BD(2)

Xét ΔCBD có CB=CD và góc BCD=60 độ

nên ΔCBD đều

Ta có: ΔBDC cân tại D

mà DF là đường trung tuyến

nen DF vuông góc với BF

=>F nằm trên đường tròn đường kính BD(3)

Ta có: ΔBDC cân tại B

mà BG là đường trung tuyến

nên BG vuông góc với GD
=>G nằm trên đường tròn đường kính BD(4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra E,B,F,G,D,H cùng nằm trên 1 đường tròn