Đáp án D

Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD) ⇒ A H ⊥ B C D  

Kẻ H K ⊥ C D K ∈ C D ⇒ C D ⊥ A H K ⇒ A C D ; B C D ^ = A K H ^  

Ta có V A B C D = 1 3 A H . S ∆ B C D ⇒ A H = 3 V S ∆ B C D = 3 . 20 10 = 6  

Và S ∆ A C D = 1 2 A K . C D ⇒ A K = 2 . S C D = 2 . 15 3 = 10  

Tam giác AHK vuông tại H, có c o t A K H ^ = H K A H = 10 2 - 6 2 6 = 4 3

Chọn A.

Gọi O là chân đường vuông góc kẻ từ A đến mặt phẳng (BCD)

Khi đó ta tính được 

Chọn C

Đáp án C

Gọi h là khoảng cách từ B → A C D

⇒ h = a 3 2 ⇒ S Δ A C D = 3 V A B C D h = 3 a 3 3 12 a 3 2 = a 2 2  

Gọi M là trung điểm AD ⇒ C M ⊥ A D .

⇒ C M = 2 S A C D A D = 2. a 2 2 a 2 = a 2 2 = 1 2 A D

⇒ Δ A C D vuông tại C ⇒ C A = C D = a

Δ C A D = Δ C B A C . C . C ⇒ A C D ^ = A C B ^ = 90 0

⇒ A C ⊥ C D A C ⊥ C B ⇒ A C ⊥ B C D ⇒ A C D ⊥ B C D

Hay góc giữa hai mặt phẳng bằng 90 0

Đáp án là B

Chọn C

Gọi H là trung điểm cạnh CD và K là trung điểm cạnh AD.

Tam giác ACD có CA=CD=x=a ; AD = a 2  => tam giác ACD vuông cân tại C

Mặt khác:

Tam giác ABD có:

Tam giác BHK có:

=> Tam giác BHK vuông tại H  ⇒ B H K ^ = 90 o   hay  A C D , B C D ^ = 90 o

Chọn A

Coi như a = 1 . Tam giác ACD vuông tại A nên A D = C D 2 - A C 2 = 1 = A B  cân tại A và tam giác ACD vuông cân tại A. Gọi H, E lần lượt là trung điểm của BD và DC. Ta có A H ⊥ B C D  và C D ⊥ A E . Hơn nữa C D ⊥ A H ⇒ C D ⊥ A H E ⇒ C D ⊥ H E  mà HE song song với BC suy ra BC vuông góc với CD. H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, do đó AH là trục đường tròn này. Trong tam giác AHE dựng đường thẳng qua E vuông góc AE và cắt AH tại điểm I. Do mặt phẳng (AHE) vuông góc với mặt phẳng (ACD) nên d cũng vuông góc với (ACD). Hơn nửa E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Ta có A I . A H = A E 2 ⇒ A I = A E 2 A H . Ta có  A E = 1 2 C D = 2 2 ,  H K = 1 2 B C = 1 2   ⇒ A H = 1 2

Vậy  A I = A E 2 A H = 1   ⇒ R = 1 ⇒ V m c = 4 3 πa 3