\(u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2}\left(1\right)\)

\(u_1=3=\sqrt{9}\)

\(u_2=\sqrt{1+u_1^2}=\sqrt{10}\)

\(u_3=\sqrt{1+u_2^2}=\sqrt{11}\)

...

Dự đoán công thức:\(u_n=\sqrt{n+8}\),\(n\ge1\) (*)

Thật vậy 

+)\(n=1,(*)\)\(\Leftrightarrow u_1=3\) (lđ)

+)Giả sử (*) đúng với mọi \(n=k,k>1\)

\((*)\Leftrightarrow u_k=\sqrt{k+8}\)

+)\(n=k+1,\) thay vào (1) có: \(u_{k+2}=\sqrt{1+u^2_{k+1}}=\sqrt{1+\left(\sqrt{1+u_k^2}\right)^2}=\sqrt{2+u^2_k}=\sqrt{2+k+8}=\sqrt{10+k}\)

\(\Rightarrow\)(*) đúng với n=k+1

Vậy CTSHTQ: \(u_n=\sqrt{n+8}\), \(n\ge1\)

a. Năm số hạng đầu của dãy số

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số:

un =√(n+8) (1)

Rõ ràng (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là uk = √(k+8)

⇒ (1) đúng với n = k + 1

⇒ (1) đúng với mọi n ∈ N*.

Ta thấy: 1=(1-1).4+1

              5=(2-1).4+1

              9=(3-1).4+1

              13=(4-1).4+1

              17=(5-1).4+1

              ………………

Quy luật: Mỗi số hạng trong dãy bằng số thứ tự của nó trừ 1 rồi nhân với 4 cuối cùng cộng thêm 1.

a) Gọi số n là số hạng thứ a của dãy.

Ta có: n=(a-1).4+1

=>3 số hạng tiếp theo của dãy là:(6-1).4+1=21

                                                     (7-1).4+1=25

                                                     (8-1).4+1=29

b)Số hạng thứ 2011 của dãy là: (2011-1).4+1=8041

c)Ta có:S=1+5+9+…+8041
=>\(S=\frac{\left(\left(8041-1\right):4+1\right).\left(8041+1\right)}{2}\)

=>\(S=\frac{\left(8040:4+1\right).8042}{2}\)

=>\(S=\left(2010+1\right).\frac{8042}{2}\)

=>\(S=2011.4021\)

=>\(S=8086231\)

a) dạng tổng quát là: 4k + 1

3 số điền vào la 21;25;29

Số thứ 2011 : 4 x 2011 - 4 + 1 = 8041