Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau  nên hệ  số góc của chúng bằng nhau g=hay  y ' ( x M ) = y ' ( x N )

y = x + 1 x - 1 = 1 + 2 x - 1 ( x ≠ 1 ) ⇒ y ' = - 2 ( x - 1 ) 2

Gọi M ( x M ;   1 + 2 x M - 1 ) ;   M ( x N ; 1 + 2 x N - 1 )   là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau 

Gọi I là trung điểm của MN ta có: I (1; 1)

Dễ  thấy đồ  thị  hàm số  có TCN là y= 1và tiệm cận đứng x= 1 nên I (1; 1) là giao điểm của hai đường tiệm cận => C đúng.

TCN y= 1 và tiệm cận đứng x= 1 rõ ràng đi qua trung điểm I của đoạn MN=> B, D đúng.

Chọn A.

Đáp án là D

\(a,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1=2m-3\\-2k+1\ne-k-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=4\\k\ne3\end{matrix}\right.\\ b,\Leftrightarrow x=0\Leftrightarrow-2k+1=-k-2\Leftrightarrow k=3\)

 Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d

Khi đó d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

 trong đó x1, x2 là nghiệm của (1) (nên ta có ).

Suy ra hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm A và B lần lượt là

Vì tiếp tuyến tại A và B song song, đồng thời x1 ≠ x2 nên phải có

suy ra

Kết hợp điều kiện ,vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C  và đường thẳng d

2 x + 1 x + 1 = x + m ⇔ x ≠ - 1 x 2 + ( m - 1 ) x + m - 1 = 0   ( 1 )

+ Khi đó d cắt C tại hai điểm phân biệt A; B  khi và chi khi phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt khác -1

⇔ ( m - 1 ) 2 - 4 ( m - 1 ) > 0 ( - 1 ) 2 - ( m - 1 ) + m - 1 ≠ 0 ⇔ m < 1 ∨ m > 5     ( * )

Khi đó ta lại có A( x₁ ; x₁+m) ; B( x₂ ; x₂+ m) ; 

A B → = ( x 2 - x 1 ;   x 2 - x 1 ) nên   A B = 2 ( x 2 - x 1 ) 2 = 2 x 2 - x 1

và  x 2 + x 1 = 1 - m x 2 . x 1 = m - 1

Từ đây ta có

A B = 10 ⇔ x 2 - x 1 = 5 ⇔ x 2 + x 1 2 - 4 x 2 x 1 = 5 ⇔ ( 1 - m ) 2 - 4 ( m - 1 ) = 5 ⇔ m 2 - 6 m = 0

Vậy m= 0 hoặc m= 6.

Chọn D.

Chọn B.

+Ta có đạo hàm y’ = 3x²- 6mx+ 3( m+ 1)  .

 Do K thuộc ( C)  và có hoành độ bằng -1, suy ra K( -1; -6m-3)

Khi đó tiếp tuyến tại K  có phương trình

∆: y= ( 9m+ 6) x+ 3m+ 3

Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d

⇒ 3 x + y = 0 ⇔ y = - 3 x ⇔ 9 m + 6 = - 3 3 m + 3 ≠ 0 ⇔ m = - 1 m ≠ - 1

Vậy không tồn tại m thỏa mãn đầu bài.

Chọn D.

Pt hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng d là:

\(\dfrac{x-1}{x+1}=m-x\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne-1\\g\left(x\right)=x^2+\left(2-m\right)x-m-1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại 2 điểm phân biệt <=> pt(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\g\left(-1\right)\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+8>0\\-2\ne0\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(x_A,x_B\) là nghiệm của pt (1). Vì tiếp tuyến tại A và B //

\(\Rightarrow f'\left(x_A\right)=f'\left(x_B\right)\Leftrightarrow\dfrac{2}{\left(x_A+1\right)^2}=\dfrac{2}{\left(x_B+1\right)^2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_A=x_B\left(loai\right)\\x_A+x_B=-2\end{matrix}\right.\)

Theo định lí Viet ta có: 

\(x_A+x_B=m-2\Rightarrow m-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

]