đặt:

\(S=\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a+b+c+d}=\frac{a^3}{a+b+c+d}+\frac{b^3}{a+b+c+d}+\frac{c^3}{a+b+c+d}+\frac{d^3}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{a^4}{a^2+ab+ac+ad}+\frac{b^4}{ab+b^2+bc+bd}+\frac{c^4}{ac+bc+c^2+cd}+\frac{d^4}{ad+bd+cd+d^2}\)

áp dụng bất đẳng thức schwarts ta có:

\(S\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)

áp dụng bất đẳng thức bunhicốpski ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\left(1+1+1+1\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\Rightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\ge\frac{4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}}{4}=\frac{4.1}{4}=1\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge a+b+c+d\)

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1

thử bài bất :D 

Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)

Hoàn toàn tương tự: 

\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)

\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)

Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:

\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)

Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )

Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D 

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)

Ta có:\(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^3=\left(\dfrac{bk+b}{dk+d}\right)^3=\left(\dfrac{b.\left(k+1\right)}{d.\left(k+1\right)}\right)^3=\dfrac{b^3}{d^3}\)(1)

Lại có :\(\dfrac{a^3+b^3}{c^3+d^3}=\dfrac{b^3k^3+b^3}{d^3k^3+d^3}=\dfrac{b^3.\left(k^3+1\right)}{d^3.\left(k^3+1\right)}=\dfrac{b^3}{d^3}\)(2)

Từ (1) và (2) => ĐPCM

Từ a/b=c/d

=>a/c=b/d=a+b/c+d

<=>a^3/c^3=b^3/d^3=(a+b)^3(c+d)^3

=a^3+b^3/c^3+d^3

Vậy

(a+b)^3(c+d)^3=a^3+b^3/c^3+d^3 (đpcm)

Đặt \(a^3+b=c^3+d=m^3+n=k\)

\(a^3\equiv a\left(mod3\right)\Rightarrow a^3+b\equiv a+b\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow a+b\equiv k\left(mod3\right)\)

Tương tự: \(c+d\equiv k\left(mod3\right)\) ; \(m+n\equiv k\left(mod3\right)\)

Lại có:

\(b^3\equiv b\left(mod3\right)\Rightarrow b^3+a\equiv a+b\left(mod3\right)\)

Tương tự ...

\(\Rightarrow Q\equiv a+b+c+d+m+n\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow Q\equiv k+k+k\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow Q\equiv3k\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow Q⋮3\)

Mà hiển nhiên Q>3 nên Q là hợp số

Anh giúp em ạ! Không biết là ra 46666200 hay là 9333240 ạ anh, em đang bị rối 1 chỗ anh giúp em xong rồi em hỏi anh ạ

https://hoc24.vn/cau-hoi/goi-s-la-tap-hop-tat-ca-cac-so-tu-nhien-gom-5-chu-so-doi-mot-khac-nhau-duoc-lap-tu-cac-chu-so-5-6-7-8-9-tinh-tong-tat-cac-so-thuoc-tap-s.7818057294758

=>5(a^3+b^3+c^3+d^3)=18(c^3+d^3)

=>5(a^3+b^3+c^3+d^3) chia hết cho 6

=>a^3+b^3+c^3+d^3 chia hêt cho 6

a^3-a=a(a+1)(a-1) chia hết cho 3!=6

b^3-b=b(b+1)(b-1) chia hết cho 3!=6

c^3-c=c(c+1)(c-1) chia hết cho 3!=6

d^3-d=d(d+1)(d-1) chia hết cho 3!=6

=>a^3+b^3+c^3+d^3-a-b-c-d chia hết cho 6

=>a+b+c+d chia hết cho 6

Cho tỉ lệ thức: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\). Chứng minh rằng:

\(\frac{a^3}{c^3}=\frac{\left(2a-b\right)^3+b^3}{\left(2c-d\right)^3+d^3}\)

BÀI LÀM:

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)

Ta có: \(\frac{\left(2a-b\right)^3+b^3}{\left(2c-d\right)^3+d^3}=\frac{\left(2bk-b\right)^3+b^3}{\left(2dk-d\right)^3+d^3}=\frac{b^3.\left(2k-1\right)^3+b^3}{d^3.\left(2k-1\right)^3+d^3}=\frac{b^3.\left[\left(2k-1\right)^3+1\right]}{d^3.\left[\left(2k-1\right)^3+1\right]}=\frac{b^3}{d^3}\left(1\right)\)

Vì \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{c^3}{d^3}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) =>  \(\frac{a^3}{c^3}=\frac{\left(2a-b\right)^3+b^3}{\left(2c-d\right)^3+d^3}\left(đpcm\right)\)

Cách 1:

Ta xét tích a(c-d) và c(a-b)

Ta có: a(c-d)=ac-ad (1)

           c(a-b)=ac-bc(2)

Ta lại có \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{d}\)=>ad=bc (3)

Từ (1), (2), (3) ta có a(c-d)=c(a-d). Do đó \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)

Cách 2:

 Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)=k thì a=bk, c=dk. 

Xét \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{bk}{bk-b}=\dfrac{bk}{b\left(k-1\right)}=\dfrac{k}{k-1}\left(1\right)\)

Xét \(\dfrac{c}{c-d}=\dfrac{dk}{dk-d}=\dfrac{dk}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{k}{k-1}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)=> \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)

Cách 3: Ta có

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=>\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

Aps dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=>\dfrac{a-b}{c-d}\)

=>\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{a-b}{c-d}=>\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)

Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}-1=\dfrac{d}{c}-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{d-c}{c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{c-d}{c}\)

hay \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)(đpcm)