Có \(y^2+2019=y^2+xy+yz+zx=y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\)

\(x^2+2019=x^2+xy+yz+zx=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)

\(z^2+2019=z^2+xy+yz+xz=z\left(z+y\right)+x\left(y+z\right)=\left(z+x\right)\left(y+z\right)\)

Có \(P=x\sqrt{\frac{\left(y^2+2019\right)\left(z^2+2019\right)}{x^2+2019}}+y\sqrt{\frac{\left(z^2+2019\right)\left(x^2+2019\right)}{y^2+2019}}+z\sqrt{\frac{\left(x^2+2019\right)\left(y^2+2019\right)}{z^2+2019}}\)

=\(x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)

=\(x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

=\(x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)

=\(x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\) (vì x,y,z >0)

= xy+xz+xy+yz+xz+yz

=2(xy+xz+yz)=2.2019(vì xy+xz+yz=2019)

=4038

Vậy P=4038

\(\left(x+\sqrt{x^2+2019}\right)\left(\sqrt{x^2+2019}-x\right)=x^2+2019-x^2=2019\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+2019}-x=y+\sqrt{y^2+2019}\left(2\right)\)

Tương tự \(\sqrt{y^2+2019}-y=x+\sqrt{x^2+2019}\left(1\right)\)

Lấy (2) - (1) được: -2x = 2y

                       <=> -x = y

                       <=> x + y = 0

Em copy sách giải tí nha! Lười đánh lắm!

ha ha

Từ giả thiết suy ra

\(x+\sqrt{x^2+2019}=\frac{2019}{y+\sqrt{y^2+2019}}\)

mà \(x+\sqrt{x^2+2019}=\frac{2019}{\sqrt{x^2+2019}-x}\)(nhân liên hợp)

\(\Rightarrow\)\(y+\sqrt{y^2+2019}=\sqrt{x^2+2019}-x\)(1)

Tương tự, có \(\sqrt{y^2+2019}-y=x+\sqrt{x^2+2019}\)(2)

Trừ từng vế của (1), (2) ta có

2y=\(-\)2x\(\Rightarrow2\left(x+y\right)=0\Rightarrow x+y=0\)

Ta xét \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)=x^2-\left(x^2+1\right)=-1.\)

Mà \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)

\(\Rightarrow x-\sqrt{x^2+1}=-\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}.\)(1)

Xét \(\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\left(y-\sqrt{y^2+1}\right)=y^2-\left(y^2+1\right)=-1\)

Mà \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)

\(\Rightarrow y-\sqrt{y^2+1}=-\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).\)

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}\)(2)

Cộng 2 vế của (1) và (2) Ta được

\(2\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow x=-y\)Thế vào A

\(A=x^{2019}+y^{2019}=\left(-y\right)^{2019}+y^{2019}=0\)

tuyết  hạnh bạn làm ra chưa vậy 

xét x=y,x>y và x<y chú ý tới điều kiện x,y thuộc -1;1 nữa