a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

DO đó: DB=DM và OD là phân giác của \(\widehat{MOB}\)

Ta có: CM+MD=CD

mà CM=CA và DM=DB

nên CD=CA+DB

b: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

=>ΔOCD vuông tại O

c: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(OM^2=MC\cdot MD\)

=>\(\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2=AC\cdot BD\)

=>\(\dfrac{AB^2}{4}=AC\cdot BD\)

=>\(AB^4=4\cdot AC\cdot BD\)

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB

Suy ra: IC = ID = IO = (1/2).CD (tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

Ta có: CD=CM+MD

mà CM=CA và DM=DB

nên CD=CA+DB

b: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

c: Gọi N là trung điểm của CD

Vì ΔOCD vuông tại O 

nên ΔOCD nội tiếp đường tròn đường kính CD

=>ΔCOD nội tiếp (N)

Xét hình thang ABDC có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC 

=>ON//AC//BD

Ta có: ON//AC

AC\(\perp\)AB

Do đó: ON\(\perp\)AB

Xét (N) có

NO là bán kính

AB\(\perp\)NO tại O

Do đó: AB là tiếp tuyến của (N)

=>AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

a: Xét tứ giác ABDC có

AC//BD

góc CAB=90 độ

Do đó: ABDC là hình thang vuông

b: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

c: Xét (O) có

CA,CM là tiêp tuyến

nên CA=CM

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB

CM+MD=CD

=>AC+BD=CD

a) Xét (O) có

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

nên \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)

Xét (O) có

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

nên \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{DOM}\)

Ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)(cmt)

và \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{DOM}\)(cmt)

nên \(2\cdot\widehat{DOM}+2\cdot\widehat{COM}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{DOM}+\widehat{COM}\right)=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{DOM}+\widehat{COM}=90^0\)

mà \(\widehat{DOM}+\widehat{COM}=\widehat{COD}\)(tia OM nằm giữa hai tia OC, OD)

nên \(\widehat{COD}=90^0\)

Vậy: \(\widehat{COD}=90^0\)

b) Gọi E là trung điểm của CD

Xét ΔCOD có \(\widehat{COD}=90^0\)(cmt)

nên ΔCOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)

Xét ΔCOD cân tại O(cmt) có OE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD(E là trung điểm của CD)

nên \(OE=\dfrac{CD}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(CE=ED=\dfrac{CD}{2}\)(E là trung điểm của CD)

nên EO=EC=ED

⇒O∈(E)

Ta có: AC⊥AB(AC là tiếp tuyến có A là tiếp điểm của (O))

BD⊥BA(BD là tiếp tuyến có B là tiếp điểm của (O))

Do đó: AC//BD(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét tứ giác ACDB có AC//DB(cmt)

nên ACDB là hình thang có hai đáy là AC và DB(Định nghĩa hình thang)

Xét (O) có AB là đường kính(gt)

nên O là trung điểm của AB

Xét hình thang ACDB(AC//DB) có 

E là trung điểm của CD(gt)

O là trung điểm của AB(cmt)

Do đó: OE là đường trung bình của hình thang ACDB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)

⇒OE//AC//DB và \(OE=\dfrac{AC+DB}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)

Ta có: OE//AC(cmt)

AC⊥AB(AC là tiếp tuyến có A là tiếp điểm của (O))

Do đó: OE⊥AB(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

mà O∈AB(O là trung điểm của AB)

nên OB⊥OE tại O

Xét (E) có 

O∈(E)(cmt)

OB⊥OE tại O(cmt)

Do đó: OB là tiếp tuyến của (E)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn)

⇔AB là tiếp tuyến của (E)

hay đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB(Đpcm)

c) BM cắt Ax tại E.BC cắt MH tại I

Vì AB là đường kính nên \(\angle AMB=90\)

Vì CM,CA là tiếp tuyến nên \(CM=CA\)

Ta có tam giác AME vuông tại M có \(CM=CA\Rightarrow C\) là trung điểm AE

Vì \(MH\parallel AE(\bot AB)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{BI}{BC}\\\dfrac{IM}{CE}=\dfrac{BI}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{IM}{CE}\)

mà \(AC=CE\Rightarrow IH=IM\) nên ta có đpcm

a: Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

=>CA=CM và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

CM+MD=CD

mà CM=CA và DM=DB

nên CA+DB=CD

b: Từ (1), (2) suy ra góc COM+góc DOM=1/2(góc MOA+góc MOB)

=1/2*180=90 độ

=>góc COM và góc DOM là hai góc phụ nhau

c: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên MC*MD=OM^2

=>AC*BD=R^2

a) Nối B với M

Xét tam giác OBM,có:

        OB=OM(Cùng là bán kính)

=>Tam giác OBM cân tại O

=>Góc OMB=Góc OBM (2gocs tương ứng)

Ta có:By tiếp tuyến với đg tròn (O) tại B

=>Góc OBy=90^o(t/c...)

Hay góc OBC=90^o (C∈By)

  CD tiếp tuyến với đg tròn (O)

=>Góc OMD=góc OMC=90^o(t/c...)

Ta có:OBM+MBD=OBD

          OMB+BMD=OMD

   MàOBM=OMB (cmt)

         OBD=OMD (=90^o)

  =>MBD=BMD

Xét tam giác BMD, có:

    MBD=BMD (cmt)

=>Tam giác BMD cân tại D

=>BD=MD (2 cạnh tương ứng)

Nối A với M

Xét tam giác AOM,có:

 OA=OM (cùng là R)

=>TAm giác OAM cân tại O

=>OAM=OMA(2 góc tương ứng)

Ta có :Ax tiếp tuyến với đg tròn (O) tại A

=>OAx=90^o

HayOAC=90^o (C∈Ax)

Ta có :OAM+MAC=OAC

           OMA+AMC=OMC

    Mà:OAM=OMA(cmt)

          OAC=OMC(=90^o)

=>MAC=AMC

Xét tam giác ACM,có:

 MAC=AMC(cmt)

=>Tam giác ACM cân tại C

=>AC=CM(2 cạnh tương ứng)

Ta có:CM+MD=CD

   Mà:CM=AC(cmt)

         MD=BD(cmt)

=>AC+BD=CD

b)Gọi E là gđ của AM và CO

Ta có : AC cắt CM tại C

Mà AC và CM là tiếp tuyến của đg tròn (O)

=>AC=MC;CO là p/g của ACM(...)

Vì CO là p/g của ACM(cmt)

=>ACO=MCO

Hay ACI=MCI

Xét tam giác ACI và tam giác MCI,có:

           AC=MC(cmt)

         ACO=MCO(cmt)

         CI là cạnh chung

 =>Tam giác ACI=Tam giác MCI(c.g.c)

=>AIC=MIC(2 góc tương ứng);AI=MI

Ta có:AIC+MIC=180^o(2 góc bù nhau)

   Mà AIC=MIC(cmt)

     =>AIC=90^o

=>OC⊥AM tại I

a: Xét tứ giác OBDM có

góc OBD+góc OMD=180 độ

=>OBDM là tư giác nội tiếp

c: Xét ΔKOB và ΔKFE có

góc KOB=góc KFE

góc OKB=góc FKE

=>ΔKOB đồng dạng với ΔKFE
=>KO/KF=KB/KE

=>KO*KE=KB*KF