Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ac = 1. Tính

\(P=a\sqrt{\frac{\left(1+c^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+a^2}}+b\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\frac{\left(1+c^2\right)\left(1+a^2\right)}{1+c^2}}\)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\).

Chứng minh rằng \(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\le4\left(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right)\)

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn : \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\) . CMR :

\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

1/tìm số n nguyên dương thỏa mãn

\(\sqrt{\left(3+2\sqrt{2}\right)^n}+\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)^n}=6\)

2/ cho a, b là các số dương thỏa mãn \(1\le a\le b\le2\)

tìm GTLN của \(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\)

CMR : \(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{-2}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

Cho a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le16\left(a+b+c\right)\), chứng minh rằng:

\(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)}\le\frac{8}{9}\)

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=1.

CMR: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge3+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)

cho các số a,b,c dương thỏa mãn: a + b + c = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) = 2

CMR : \(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)