\(x^2+10x+16\le0\Rightarrow-8\le x\le-2\)

Xét BPT: \(mx\ge3m+1\Leftrightarrow m\left(x-3\right)\ge1\) trên \(\left[-8;-2\right]\)

Do \(-8\le x\le-2\Rightarrow x-3< 0\)

Do đó BPT tương đương:

\(m\le\dfrac{1}{x-3}\) (1)

(1) vô nghiệm khi và chỉ khi \(m>\max\limits_{\left[-8;-2\right]}\dfrac{1}{x-3}\)

\(\Rightarrow m>-\dfrac{1}{5}\)

Xét \(x^2-5x+4\le0\Leftrightarrow1\le x\le4\Rightarrow D_1=\left[1;4\right]\)

Xét \(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-m^2-1\right)\le0\)

- Nếu \(\left|m\right|\ge1\Rightarrow D_2=\left[2;m^2+1\right]\)

- Nếu \(\left|m\right|< 1\Rightarrow D_2=\left[m^2+1;2\right]\)

Do \(2\in\left[1;4\right]\), để \(D=D_1\cap D_2\) là 1 đoạn có độ dài bằng 1

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+1=1\\m^2+1=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Lý thuyết cơ bản:

BPT: \(f\left(x\right)\le f\left(m\right)\)  có nghiệm \(x\in\left(a;b\right)\) khi và chỉ khi \(f\left(m\right)\ge\min\limits_{\left(a;b\right)}f\left(x\right)\)

BPT: \(f\left(x\right)\le f\left(m\right)\)  nghiệm đúng với mọi \(x\in\left(a;b\right)\) khi và chỉ khi \(f\left(m\right)\ge\max\limits_{\left(a;b\right)}f\left(x\right)\)

Nói tóm lại: có nghiệm thì so sánh với min, nghiệm đúng với mọi x thì so sánh với max

Trong trường hợp \(f\left(x\right)\ge f\left(m\right)\) thì làm ngược lại.

Ta có: \(x^2-3x-4\le0\Leftrightarrow-1\le x\le4\)

Xét \(x^3-3\left|x\right|x\ge m^2-6m\) trên \(\left[-1;4\right]\) 

BPT có nghiệm khi \(f\left(m\right)=m^2-6m\le\max\limits_{\left[-1;4\right]}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=x^3-3\left|x\right|x\)

- Với \(-1\le x\le0\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+3x^2=x^3+3x^2-2+2\)

\(=\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)^2-3\right]+2\le2\)

- Với \(0\le x\le4\Rightarrow f\left(x\right)=x^3-3x^2=x^3-3x^2-16+16\)

\(=\left(x-4\right)\left(x^2+x+4\right)+16\le16\)

So sánh 2 giá trị 2 và 16 ta suy ra \(\max\limits_{\left[-1;4\right]}\left(x^3-3\left|x\right|x\right)=f\left(4\right)=16\)

\(\Rightarrow m^2-6m\le16\Leftrightarrow m^2-6m-16\le0\)

\(\Leftrightarrow-2\le m\le8\)

\(-8\le m\le2\)

pt(1) có nghiệm là 2 khoảng (-2;-1) và (1;2)

pt(2) có 2 nghiệm phân biệt là x=a+1 hay x=a-2

Để hệ có nghiệm duy nhất thì:

+ \(\left\{{}\begin{matrix}a-2< -2\\-2\le a+1\le-1\end{matrix}\right.\)

+ \(\left\{{}\begin{matrix}-2\le a-2\le-1\\a+1>-1\end{matrix}\right.\)

+ \(\left\{{}\begin{matrix}a-2< 1\\1\le a+1\le2\end{matrix}\right.\)

+ \(\left\{{}\begin{matrix}1\le a-2\le2\\a+1>2\end{matrix}\right.\)

Hợp nghiệm các trường hợp trên ta được:

\(-3\le a\le-2\) hay \(0\le a\le1\)hay \(3\le a\le4\)

Bài 1 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\)

Nếu m = 1, hệ vô nghiệm

Nếu m ≠ 1, hệ tương đương

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\x\le\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\x\ge\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm khi một trong hai hệ trong hệ ngoặc vuông có nghiệm ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{2}{m-1}\ge-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\\dfrac{2}{m-1}\le4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\-2\le1-m\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\2\le4m-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{3}{2}\le m\le4\end{matrix}\right.\)

\(x^2-2x< 0\Leftrightarrow0< x< 2\) \(\Rightarrow D_1=\left(0;2\right)\)

Xét \(f\left(x\right)=x^2+2\left(m-1\right)x+m^2\ge0\) (1)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m^2=1-2m\)

- Với \(\Delta'\le0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\) thì (1) luôn đúng \(\Leftrightarrow\) hệ có nghiệm

- Với \(m< \dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) gọi 2 nghiệm của (1) là \(x_1< x_2\) \(\Rightarrow D_2=(-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty)\)

Để hệ vô nghiệm \(\Leftrightarrow D_1\cap D_2=\varnothing\) \(\Leftrightarrow x_1\le0< 2\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\le0\\f\left(2\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2\le0\\4+4\left(m-1\right)+m^2\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m^2+4m\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=0\)

\(\Rightarrow\) Hệ có nghiệm khi \(m\ne0\)

Vậy