Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D$. Biết $AC = \sqrt3,$ $CD' = 2$, $D'A = \sqrt5$. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng $(ACD')$ và $(A'B'C'D')$.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
26 tháng 5 2017
Đáp án A
Ta có A D 2 + D C 2 = 3 A D 2 + D D ' 2 = 5 D C 2 + D D ' 2 = 4 ⇒ A D = 2 D C = 1 D D ' = 3
Diện tích S A C D ' = 11 2 , S A ' C ' D ' = 2 2
Vì A ' C ' D ' là hình chiếu vuông góc của A C D ' lên A ' B ' C ' D '
nên S A ' C ' D ' = S A C D ' . cos α ⇒ cos α = S A ' C ' D ' S A C D ' = 2 11 .
Từ đó tan α = 1 cos 2 α − 1 = 3 2 2 .
CM
23 tháng 12 2017
Đáp án A
Chọn gốc tọa độ tại D, các tia Ox, Oy, Oz trùng với các tia DC,DA,DD'.
Và B(1;2;0)
Do đó
Hai mặt phẳng (AB′D′)(AB′D′) và (A′C′D)(A′C′D) có giao tuyến là EFEF như hình vẽ.
Hai tam giácΔA′C′D=ΔD′AB′ΔA′C′D=ΔD′AB′và EFEF là đường trung bình của hai tam giác nên từ A′A′ và D′D′ ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến EFEF sẽ là chung một điểm HH như hình vẽ.
Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng A′HA′H và D′HD′H.
Tam giác DEFDEF lần lượt cóD′E=D′B′2=√132D′E=D′B′2=132,D′F=D′A2=52D′F=D′A2=52,EF=B′A2=√5EF=B′A2=5.
Theo hê rông ta có:SDEF=√614SDEF=614. Suy raD′H=2SDEFEF=√30510D′H=2SDEFEF=30510.
Tam giác D′A′HD′A′H có:cosˆA′HD′=HA′2+HD′2−A′D′22HA′.HD′=−2961cosA′HD′^=HA′2+HD′2−A′D′22HA′.HD′=−2961.
Do đóˆA′HD′≈118,4∘A′HD′^≈118,4∘hay(ˆA′H,D′H)≈180∘−118,4∘=61,6∘(A′H,D′H^)≈180∘−118,4∘=61,6∘.
D là hình chiếu vuông góc của D'D′ trên (ABCD)(ABCD).
\Rightarrow \Delta ACD⇒ΔACD là hình chiếu vuông góc của \Delta ACD'ΔACD′ trên mặt phẳng (ABCD)(ABCD).
Do đó \cos \alpha = \dfrac{S_{ACD}}{S_{ACD'}}cosα=SACD′SACD với \alphaα là góc cần tìm.
Ta có \left\{ \begin{aligned} & DA^2 + DC^2 = 3\\ & DC^2 + DD'^2 = 4\\ & DA^2 + DD'^2 = 5\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & DA^2 = 2\\ & DC^2 = 1\\ & DD'^2 = 3\\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧DA2+DC2=3DC2+DD′2=4DA2+DD′2=5⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧DA2=2DC2=1DD′2=3.
\Rightarrow S_{ACD} = \dfrac12.DA.DC = \dfrac{\sqrt2}2⇒SACD=21.DA.DC=22.
Dùng công thức Hê rông ta có S_{ACD'} = \dfrac{\sqrt{11}}2SACD′=211.
Vậy \cos \alpha = \sqrt{\dfrac2{11}}cosα=112.