Giải thích các bước giải:

Trường hợp 1:p=21:p=2

→2p+1=2⋅2+1=5→2p+1=2⋅2+1=5 là số nguyên tố

      2p+5=2⋅2+5=92p+5=2⋅2+5=9 không là số nguyên tố

→p=2→p=2 (loại)

Trường hợp 2:p=32:p=3

→2p+1=2⋅3+1=7→2p+1=2⋅3+1=7 là số nguyên tố

      2p+5=2⋅3+5=112p+5=2⋅3+5=11 là số nguyên tố

→p=3→p=3 (chọn)

Trường hợp 3:p>33:p>3

→p→p chia 33 dư 11 hoặc 22
Nếu pp chia 33 dư 1→p=3k+1,k∈N∗1→p=3k+1,k∈N∗

→2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)⋮3→2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)⋮3

Mà 2p+1>3→2p+12p+1>3→2p+1 là hợp số

→p=3k+1→p=3k+1 (loại)

Nếu pp chia 33 dư 2→p=3k+2,k∈N∗2→p=3k+2,k∈N∗

→2p+5=2(3k+2)+5=6k+9=3(2k+3)⋮3→2p+5=2(3k+2)+5=6k+9=3(2k+3)⋮3

Mà 2p+5>3→2p+52p+5>3→2p+5 là hợp số

→p=3k+2→p=3k+2 (loại)

⇒p>3⇒p>3 loại

Với $p=2$: $5p+2=12$không là số nguyên tố. 

Với $p=3$: $2p+1=7,5p+2=17$đều là số nguyên tố, thỏa mãn. 

Với $p>3$: khi đó $p=3k+1$hoặc $p=3k+2$với $k\in N^{\ast }$.

- $p=3k+1$: $2p+1=2\left(3k+1\right)+1=6k+3⋮3$mà $2p+1>3$nên không là số nguyên tố.

- $p=3k+2$: $5p+2=5\left(3k+2\right)+2=15k+12⋮3$mà $5p+2>3$nên không là số nguên tố. 

Vậy $p=3$.

2p + 1, 5p + 2 cùng là các số nguyên tố
Chỉ có một số đáp ứng là số 3 vì:
2x3+1=7
5x3+2=17
Mà 7 và 17 là số nguyên tố nên p=3

p=4

a,p=2.

b,p=0,2,4.

c,ban tự lm

k mik nhe

b) +) Nếu p = 3k + 1 (k thuộc N)=> 2p² + 1 = 2.(3k + 1)² + 1 = 2.(9k² + 6k + 1) + 1 = 18k² + 12k + 2 + 1 = 18k² + 12k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 => 2p² + 1 là hợp số (loại)

+) Nếu p = 3k + 2 (k thuộc N) => 2p² + 1 = 2.(3k + 2)² + 1 = 2.(9k² + 12k + 4) + 1 = 18k² + 24k + 8 + 1 = 18k² + 24k + 9 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 => 2p² + 1 là hợp số (loại)

Vậy p = 3k, mà p là số nguyên tố => k = 1 => p = 3

a) +) Nếu p = 1 => p + 1 = 2; p + 2 = 3; p + 4 = 5 là số nguyên tố

+) Nếu p > 1 :

p chẵn => p = 2k => p + 2= 2k + 2 chia hết cho 2 => p+ 2 là hợp số => loại

p lẻ => p = 2k + 1 => p + 1 = 2k + 2 chia hết cho 2 => p+1 là hợp số => loại

Vậy p = 1

c) p = 2 => p + 10 = 12 là hợp số => loại

p = 3 => p + 10 = 13; p+ 14 = 17 đều là số nguyên tố => p = 3 thỏa mãn

Nếu p > 3 , p có thể có dạng

+ p = 3k + 1 => p + 14 = 3k + 15 chia hết cho 3 => loại p = 3k + 1

+ p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 12 là hợp số => loại p = 3k + 2

Vậy p = 3

Bài 1:

Nếu p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 không là số nguyên tố

2 + 4 = 6 không là số nguyên tố

Vậy p = 2 không thỏa mãn

Nếu p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5 là số nguyên tố

3 + 4 = 7 là số nguyên tố

Vậy p = 3 thỏa mãn

Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 

Khi p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) không là số nguyên tố

Vậy p = 3k + 1 không thỏa mãn

Khi p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố

Vậy p = 3k + 2 không thỏa mãn

Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất.

Bài 2:

Khi ta xét 3 số tự nhiên liên tiếp 4p; 4p + 1; 4p + 2 thì chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 3

p là số nguyên tố; p > 3 nên p không chia hết cho 3 => 4p không chia hết cho 3

Ta thấy 2p + 1 là số nguyên tố; p > 3 => 2p + 1 > 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 => 2(2p + 1) không chia hết cho 3 -> 4p + 2 không chia hết cho 3

Vì thế 4p + 1 phải chia hết cho 3

Mà p > 3 nên 4p + 1 > 3

=> 4p + 1 không là số nguyên tố. 4p + 1 là hợp số.

vs p=2 bn tu xet nha. vs p=3k+1 thi bn cx tu xet .vs p=3k+2 thi bn cx tu xet vs p=3k ma p la snt nen p=3 khi do bn tu thay vao

bẠN tự xét p  có dạng 3k,3k+1,3k+2 nha

thì sẽ được p có dạng 3k thì 2p-1 và 2p+1 là snt

mà p là snt =>p=3

a; nếu p=3 thì p+2=5 , p+4=7 đều là số nguyên tố

    nếu p>3 thì p có 2 dạng : p=3k+1, p=3k+2

     với p=3k+1 thì p+2=3k+1+2=3k+3 chia hết cho 3 => p+2 là hợp số

    với p=3k+2 thì p+4=3k+2+4=3k+6 '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' =>p+4 là hợp số

                         Vậy p=3 thỏa mãn đề bài 

     các phần còn lại tương tự

Lời giải:
Nếu $p\vdots 3$ thì $p=3$. Khi đó $2p+1=7, 4p+1=13$ đều là số nguyên tố (thỏa mãn) 

Nếu $p$ chia $3$ dư $1$. Đặt $p=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow 2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ với mọi $p$ nên $2p+1$ không là snt (trái với giả thiết) - loại.

Nếu $p$ chia $3$ dư $2$. Đặt $p=3k+2$ với $k\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow 4p+1=4(3k+2)+1=12k+9=3(4k+3)\vdots 3$. mà $4p+1>3$ với mọi $p$ nên không là snt(trái với giả thiết) - loại.

Vậy $p=3$ là đáp án duy nhất.